BD- : AD- :: BD : DC

Scolie r". — Le théorème précédent donnerait lieu à diverses réciproques dont il est facile de trouver les énonces , et qui se démontrent sans peine.

Scol. a. — On sait que tout triangle ABC (fig. 329) inscrip- Fig.aag. tible dans un demi-cercle , est un triangle rectangle qui a pour hypoténuse le diamètre BC qui lui sert de base (n®* i65, récipr.j ou i5i, coroll. 1er) , et que la perpendiculaire AD est dite une ordonnée de ce diamètre ( n° 88 , scol. 2).

Par suite, le tbéorème précédent donue lieu à diverses propositions , au nombre desquelles sont les suivantes :

i° Toute ordonnée AD d' un diamètre BC est moyenne proportionnelle entre ses deux segmens BD , DC ;

2° Toute corde AB est moyenne proportionnelle entre sa protection BD sur le diamètre BC mené par l'une de ses extrémités B, et le diamètre entier ;

D’où — Les carrés des cordes RA , BA', B A* .. (fig. 23o), Fig.a3o. menées par un meme point B de la circonférence , sont proportionnels à leurs projections BD, BD', BD”... sur le diamètre BC mené par le même point.

N° 375. Théorème XII. Fig. 228.

Dans un triangle rectangle ABC, le carré [ou la 2e puis— Fig.aj8. sauce] de la valeur numérique de l'hypoténuse BC est égal à la somme des carrés des valeurs numériques des deux autres côtés.

En effet , si du sommet de l’angle droit 011 abaisse la perpendiculaire AD sur l’bypoténuse , on aura (n° 274 , 3°) :

AB1 = BC X BD | AC* = BC x DC ;

21 & tlV. II ; ciu’p. I; 5 H. —

Fig.»a8. d’oü , en ajoutant : ’

AB1 -f AC* = BC ( BD -f DC ) , ou AB* + AC* = BC* ; C. Ç. F. D ,

Corollaire i". — Lorsque AB = AC, on a BC*— a. AB*; donc

Dans tout triangle rectangle isocèle , le carré de Hypoténuse est égal au double du carié d’un côté de V angle droit.

Par conséquent — La deuxième puissance de la valeur numérique de la diagonale d un carré est double de celle du côté;

Donc — La diagonale et le côté du carré [étant dans le rapport de \S i à i] sont incommensurables entre eux.

Ou peut conclure ilu résultat precedent, que la racine carrée du nombre a [et il en isi de même de* racines carrée* de tou» le» nombre» eniien qui ne sont pas des carre» parfaits] peut lire figurée par une l'obstruction , bien que V Arithmétique démontre quo cotte racine est incommensurable.

Cohou . a. — Dans tout triangle isocèle , le carré d un côté latéral est égal it la somme des carrés de la hauteur et de la demi-base.

Et par suite — Dam tout polygone régulier, le carré du rayon est égal à la somme des carrés de l'apothème et du demicôté (voye* le n° 228).

N° 276. Théorème X1H. Fig. a3i.

Fig. a3t. Dans un triangle oblusangle ABC, le carré du côté BC

opposé à V angle obtus , A , est égal à la somme des carrés des deux autres côtés , plos le double produit de l'un de ces deux côtés A B , par la projection AD de l'autre côté AC sur le prolongement de ce dernier A B.

E11 effet , le triangle rectangle BCD donne d’abord BC* == BD’ -}- CD1.

On a ensuite BD = AB •+■ AD ;

.d’où, eu élevant au carré (*) ,

BD* = AB* -f- AD* +2. AB X AD.

(*)i D’aprè» la formule A' Algèbre. . . !p + g)* = p* -f- ipq + q‘.

— SIHIL. ; CONSÉQ. ; TRIANGLES. 2,0

Substituant cette valeur de BD* dans l’égalité primitive, en Fig. >3.. observant que AD’ -+■ CD* = AC’ , on obtient :

BC* == AB’ + AC* + a. AB X AD ; C. Q. F. D.

N» 277. Théorème XIV. Fig. a32eta33.

Dans un triangle quelconque ABC , le carré de chaque côté Fig. J. BC opposé à un angle aigu A est égal à la somme des carrés des deux autres côtés , moins le double produit de T un de ces deux côtés, AB .par la projection AD de V autre côté AC sur ce dernier AB [prolongé s’il est nécessaire].

En effet, on a comme ci-dessus (n° 276) ,