BC* = BD’ + CD

Maintenant , suivant que la perpendiculaire CD tombe au dedans ou au dehors du triangle , on a BD = AB — AD ( fig. a3a ) ou BD = AD — AB (fig. a33 ) ; mais dans l’un comme dans l’autre cas, on obtient, en élevantau carré (*) , BD*= AB* + AD’ - 2. AB X AD? d’où , en substituant comme dans le numéro précédent (n0^),

BC* = AB* + AC’ — a.ABx AD; C.Q.F.D.

JV. B. Cette égalité a toujours lieu , même quand la

perpendiculaire CD se confond avec le côté CB (fig. a34); Fig. 234. car, dans ce cas, en vertu de AD = AB, légalité se réduit à BC’ = AC’ — AB’ ;

et elle est encore vraie (n° 2^5) , puisque alors le triangle est rectangle en B.

N“ 378. Remarque sur ces 3 théorèmes. — D’après le numéro 5 1 — Un angle d’un triangle est droit , aigu , ou obtus , suivant que le carré du plus grand côté est égal , inférieur, ou supérieur, à la somme des carrés des deux autres côtés ;

(») J}'après la formule d 'Algèbre (/> — </)’ — P* — 3/"7 + '/’•

2l6 UT. U; CHAP. I; Ç U. —

Et par suite , — Un triangle est rectangle , acutangle, ou obtusangle, suivant que le carré du plus grand côté est égal , inférieur, ou supérieur, à la somme des carrés des deux autres côtés.

Exemples :

i° AB = 3 , AC = 4 , BC = 5 ; 3’ -f 4* = 5* :

donc le triangle est rectangle ;

donc le triangle est obtusangle;

donc le triangle est acutangle ;

4° AB = 5, AC =12, BC = 1 3 ; 5* +ia* = i3': donc le triaugle est rectangle. . . Etc.