LIV. (| ; CHAP. III ; S

et — 20 supposer circonscrit à la plus petite un polygone régulier dont les côtés, non prolongés , ne rencontrent pas lu plus grande [ de sorte que , dans les deux cas , les côtes du polygone soient compris entre les deux circonférences].

Fig. 276* Soit 0 (fig. 276) le centre commun des deux circonfé-

rences.— Par un point 1 pris sur la circonférence intérieure, menons une tangente terminée à la circonférence extérieure, en A et en B. . • .

Cela posé, quelque petit que soit l’arc ACB sous-tendu par la corde AlB, on peut toujours supposer la grande circonférence partagée en parties égales plus petites que cet arc: soit MCN une de ces parties , ayant pour corde une parallèle MN à la droite AlB, hypothèse qui est toujours admissible (*). Alors , la droite MN est le côté d’un polygone régulier inscrit à la grande circonférence, lequel ne rencontre pas la petite.

Maintenant, menons les rayons OM, ON ; et soient P, Q, leurs points d’intersection avec la droite AIB : l’angle POQ étant une partie aliquote de 4 angles droits r PQ sera le côté d’un polygone régulier circonscrit à la petite circonférence, lequel ne rencontrera pas la grande. — Donc , etc.

Fig. 277. Scolie. — On peut également appliquer le théorème précé-

dent à deux arcs de cercles concentriques AB, A'B', correspondant au même angle au centre AOB (fig. 277 ) , en menant la tangente par le milieu de l’arc A'B', en opérant la division en parties égales, sur l’arc AB, au lieu de l’opérer sur la grande circonférence entière [opération qui, dans ce cas, produira toujours un nombre impair d’arcs partiels], et enfin eu remplaçant, dans l’énoncé, lespérimètres des polygones, par des lignes polygonales régulières (n°‘ 226 -, et 228, soties 1" et 3').

(*) Il ne s’agit ici que de concevoir la possibilité de celte corde parallèle h la tangente. Mais si on voulait la construire effectivement, il faudrait: — i° mener le rayon OIC, —a0 prendre de part et d’antre du point C , deux arcs, CM, Cflf, éganx entre eux et sous - multiples de la demi -circonférence, et en même temps moindre que CA ou CB, — puis 3° lier par une droite les points M et N.

— RECTiriC. DE L4 CIRCONF.

N° 327. Théorème VII. Fig. 278.

l*s circonférences , OA, O'A', sont proportionnelles à leurs Fig. 378. rayons.

En effet, admettons pour un instant que l’on n’ait pas

cire. O K : circ.Ù'A' : : OA : O'A' ; { 1 }

et soit O'A" la quatrième proportionnelle aux trois longueurs cire. OA, cire. O'A', et OA ; de sorte que l’on ait la proportion cirv. OA : cire. O'A' “OA : O'A". {2 J

Soit supposé de plus, O'A" < O'A'.

Cela posé, après avoir décrit la circonférence O'A", circonscrivons-y un polygone régulier dont les côtés ne rencontrent pas la circonférence O'A', et dont nous désignerons le périmètre par périm. O'A". — Circonscrivons de même au cercle OA, un polygone régulier semblable au premier, et dont nous désignerons le périmètre par périm. OA. — Nous aurons (n° 268) : périm.Ok '.périm. O'A* :: OA : O'A*. {3}

Or, en comparant les proportions f 2 J et {3 J, on en tire : cire. OA : cire. O'A' :: périm. OA : périm. O'A", {4}

proportion absurde, puisque l’on a

cire. OA < périm. OA , et cire. 0'A'> périm. O'A*.

[On démontrerait de la même manière, que le quatrième

terme de la proportion { 1 } ne peut être supposé trop petit.

Pour cela, on inscrirait à la circonférence O'A* [> O'A'], un polygone régulier dont les côtés ne reucontrent pas la circonférence O'A', et un polygone régulier semblable à la circonférence OA: e/c.].

Maintenant , l’absurdité de la proportion (4) que l’on obtient par la comparaison des proportions { 2} et { 3 } , ne pouvant provenir que de la première des deux puisque l’autre résulte d’une proposition démontrée (n° 268) , il s’ensuit que la proportion {2} est fausse; ce qui prouve la vérité de la proportion { 1 }•

a5b Liv. u ; ciiap. ni ; § II. —

N. B. — Il est à observer que dans la démonstration précédente , on a employé un tour de raisonnement qui diffère de celui dont on a fait usage dans les cas analogues, c’est-à-dire dans la théorie des angles (nu 121) et dans celle des lignes proportionnelles (n* a5g). Or, le nouveau mode de raisonnement se trouve nécessité par cette circonstance , que les arcs décrits de rayons inégaux ne sont pas comparables par superposition (n° 63, scol. 2). — Quant à la différence des constructions à employer dans les deux hypothèses successives qu’exige la démonstration , elle tient à la convenance de conserver dans les proportions, un rapport commun, qui est celui des deux rayons OA, O'A'.

Corollaire. — Le rapport de la circonféreuce au rayon est une quantité constante {voyez le n° 3a5).

On représente ordinairement par x la moitié de ce rapport constant, ou le rapport de la circonférence au diamètre j et alors, en noininaut c une circonférence quelconque et r son rayon, on a c = 2xr: telle est, en fonction de x. et de r, la valeur de la circonférence rectifiée.

On voit que le nombre x exprime encore la longueur de la circonférence dont le diamètre est égal à U unité de longueur, ou celle de la demi-circonférence dont le rayon est pris pour unité.

N° 328. Théorème VIII. Fig. 277.

Fig. 177. Les arcs, AB, A'B', correspondant au même angle au

centre AOB , sont proportionnels à leurs rayons ; — et réciproquement.

En ellet, toute circonférence entière pouvant être considérée comme un arc correspondant à 4 angles droits (n° 120) , on a

arc A B cire. OA " AOB ; 4 droits , et arc A'B’ ; cire. OA'" AOB I 4 droits ;

d’où arc AB : arc A'B' ” cire. OA : cire. OA' " OA : OA'.

HECTIFIC. DE LA CIBCONF. 25^

La réciproque se démontre par l’absurde, ou se conclut du numéro 4g.

Corollaire i". — Les cordes , les Jleches , les sinus des

arcs qui correspondent à un même angle au centre , étant proportionnels aux rayons qui leur appartiennent, ainsi que ces arcs eux-mêmes (n° a5i et 26g), on est autorisé à établir que,

Dans deux cercles diflerens , — Les arcs correspondant au même angle au centre sont semblables ; — et ces arcs ont pour lignes homologues ( n°* 254 et ) > leurs sinus respectifs, leurs cordes, leurs flèches.

Réciproquement .- — A des arcs semblables correspondent toujours des angles au centre égaux entre eux.

Ce qu’on vient de dire dans ce corollaire , relativement aux arcs, est également applicable aux secteurs ( voyez le n* 125).

Coroll. 2. — Comme les arcs correspondant au même angle au centre comprennent le même nombre de degrés, il résulte encore du théorème précédent, que

Dans deux cercles différens , les longueurs absolues des degrés ou des grades rectifiés , sont proportionnelles à leurs rayons.

N° 339. Théorème IX. Fig. 379.

Deux arcs quelconques, AB, A'B', sont proportionnels aux pt'O- Fig. 2*0. •luit s des ongles , AOB, A'OB', par les rayons correspondons ,