PROBLÈMES SUR LES AIRES

§ I". — Problèmes Graphiques.

N* 55g. Problème I. Fig. 307.

Fig. 307. Transformer un polygone quelconque en un polygone équi-

valent d' un nombre de côtés moindre d’une unité, [et par suite le transformer en un triangle].

Soit, par exemple, à — Transformer un pentagone ABCDE ( fig. 307 ) en quadrilatère.

Construction. — 1° Menons la diagonale CE. — 20 Menons une droite DD' parallèle à CE (n° 1 54 ou 211) et terminée en D' sur le côté AE. — 3° Menons CI/.

Le quadrilatère ABCD' sera équivalent au pentagone ABCDE.

En effet, les triangles CDE , CD'E , seront équivalens (n°* 162 et 345).

Scolie. — Lorsqu’on veut transformer en triangle, un polygone convexe, on peut opérer les transformations partielles dans tel ordre que l’on veut ; mais quand il est concave , il y a souvent un choix à faire sous ce rapport. Ainsi , par exemple, Fig.3o8. dans la figure 3o8, il serait impossible de faire disparaître l’angle rentrant à la première opération partielle.

N° 36o. Problème II.

Construire un carré équivalent à un parallélogramme ou à un triangle donné.

Pour cela, on cherche (n° 298) une moyenne proportionucllc entre la, base et la hauteur du parallélogramme, ou

— AIRES ; PROBL. GRAPH. 285

entre la bâte et la moitié de la hauteur du triangle. — Cette moyenne est le côté du carré cherché; etc... (Voyez le* n°*34a — 345).

Scolie. — En réunisaant cette dérnière. question avec celle du numéro précédent (n° 35g) , on en déduit le moyen de

Transformer un polygone quelconque en un carré équivalent.

N* 36 1. Problème HI. Fig. 141»

Construire un carré équivalent à la tomme de deux carrés Fig.i^i. donnés [AB*, AC’].

Construction. — 1® Plaçons les côtés AB , AC , de manière i former un angle droit au point A(n° 12g ou igd). — 2°Menons BC.

Ce sera le côté du carré cherché.

En effet, etc. ... (n® 357).

Scolie 1". — On peut , par le même moyen ,

Construire un carré équivalent à la somme dt un nombre quelconque de carrés.

Scol. 2. — Au moyen des trois problèmes précédens , on peut

Transformer en un carré unique, une somme quelconque de polygones donnés.

N® 36a. Problème IV. Fig. 14t.

Construire un carré équivalent à la différence de deux caçrés donnés [BC*, AB*].

Construction. — i°Sur BC comine diamètre, décrivons une demi-circonférence (n® 102, i°). — 2" Du point B comme centre, et d’un rayon BA, décrivons un petit arc de cercle qui coupe cette demi-circonférence en un point A. — 3° Menons AC.

Ce sera le côté du carré cherché.

En effet, etc.. . (n® 357).

286 L1V. Il j CBAP. V; Çl. —

•Scolie iet. — Cette construction peut servir à

Trouver un carré équivalent au rectangle fait sur la somme et la différence de deux longueurs données ( voyez le n* 356, 3*; et la note de la page a 18). j

Scol. 2. — On pourrait, au moyen des problèmes précédeus ,

Trouver un carré équivalent à la somme ou à la différence et un nombre quelconque de carrés donnés , et , en général , <fun nombre quelconque de polygones.

N° 363. Problème V.

Construire , sur un côté donné [a] , un rectangle [ou un parallélogramme] équivalent à un rectangle [ou à un parallélogramme ] donné, et fait [avec le même angle] sur les côtés b , c.

Analyse. — En nommant x le second côté du rectangle cherché , on aura

ax — bc, d’où a b c l x.

Il faut donc, pour avoir x, chercher (n° 291) une quatrième proportionnelle aux trois longueurs données a, b, c (voyez le n° 34 « )•

Scolie. — Si l’on suppose b — c, le problème deviendra celui-ci :

Construire , sur un côté donné [a] , un triangle équivalent à un carré donné [b3] ; 1 v : ,

Alors, x sera une troisième proportionnelle (u° 29a ou 299) aux deux longueurs a et b.

N* 364- Problème VI. Fig. a58, a5g, et a6o.

Fig a58 Construire un rectangle équivalent à un carré donné AI*, et — 260. dont les côtés consécutifs fassent une somme donnée AB.

AIRES ; PROBL. GRAPH. 387

Les côtés du rectangle cherché ne sont autre chose que les longueurs déterminées dans le problème du numéro 3oo.

N° 365. Problème VII. Fig. a6i et 26a.

Construire un rectangle équivalent à un carré donné AI*, et pig. dont les côtés consécutifs fassent une différence donnée AB. et

Voyez , de meme , le numéro 3oi.

Problème VIII. Fig. 309 et 3 10.

n i -1- . By.-Jm'itJÜTr. 'v> ‘ . -.1 I •

Construire un carré qui soit à un carré donné , dans le rap - Fig. 3og port d’ une longueur donnée DC à une autre longueur donnée BD. el^,0‘

Analyse. — D’après l’analogie évidente qui existe entre cette question et la proposition du numéro 274 ( coroll . 1"), plaçons Fig.3og. à la suite l’une de l’autre , les deux droites données BD , DC . (fig. 3oq); décrivons sur BC comme diamètre, une demicirconférence ; élevons l’ordonnée DA ; puis menons AB et AC.

— Nous aurons alors

ab* : ac* :: bd : dc;

et si AB était le côté du carré donné, AC serait le côté du carré cherché.

D’ailleurs, le même rapport doit exister entre les deux longueurs BD, DC, et deux carrés dont les côtés seraient proportionnels à ceux du premier. . . . etc. etc.

1" Construction. — i° Sur BC comme diamètre, décrivons une demi -circonférence (n° 102, 1°). — 20 Menons l’ordonnée DA ( n" 99), les cordes AB, AC; et prolongeons toutes ces droites. — 3° Sur AB, à partir du point A,

prenons une longueur AB' égale au côté du carré donné.

48 Menons par le point B', parallèlement à BDC, la droite B'D'C (n° 1 54 ou 211), coupant AD et AC respectivement en D' et en C'.

AC' sera le côté du carré cherché.