PRÉLIMINAIRES DE LA GÉOMÉTRIE DANS L’ESPACE

N° 393, Jusqu’à présent, lus Usures que nous avons étudiées avaient tous leurs points situe's dans un même plan : nous allons maintenant considérer les choses d’une manière plus générale , et traiter des figures dans l’espace {voyez le n° i5).

Pour cela* nous supposerons que l’on ait présentes à la mémoire , les propriétés générales de la ligne droite et de la surface plane, précédemment exposées dans V Introduction (nM5 — i4); et nous y ajouterons quelques nouveaux détails.

Nous rappellerons d’abord que trois points non situés en ligne droite, ou que deux droites qui se coupent, déterminent un plan (n°* 11 et 12). Il en est de même de deux droites parallèles (n®‘ et t3i); car d’abord , deux pareilles droites sont toujours dans un meme plan d’après leur définition ; et ensuite, s’il était possible qu’il existât plusieurs plans passant à la fois par les deux parallèles, il s’ensuivrait que par deux points quelconques de la première et par un point de la seconde, on pourrait faire passer plusieurs plans, ce qui est absurde (n° n). — Cette observation était nécessaire pour conûrmcr ce que nous avons dit dans le numéro i32, et en même temps pour motiver l’expression que nous avons employée en disant : le plan des deux parallèles.

Il s’ensuit en outre, que

Dans I espace comme sur un plan , on ne peut mener patun point donné , qu'une seule parallèle à une droite donnée ;

Et que — Toutes les parallèles qu'il est possible de mener par les différons points d’une même droite, sont dans un même plan.

N" 3g3. Soieut deux droites parallèles AB, CD (fîg. 3t3). Fig.3iî. — Par l’une d’elles , la droite CD par exemple, on peut mener

3o6 GÉOMÉTRIE DANS L*ESPACE ;

.3,3. une infinité de plans (n“ i4)- Or, de tous ces plans, aucun ne rencontrera la droite AB , excepté le plan des deux parallèles qui la contiendra tout entière : en effet , si tout autre que ce dernier, si le plan MN par exemple, pouvait rencontrer la droite AB eu un certain point, ce plan sc confondrait avec celui des parallèles (n° n).

Cela posé, on dit qu’un plan MN et une droite AB sont parallèles , lorsque le plan et la droite ne se rencontrent pas , quoique indéfiniment prolongés.

On voit en même temps , que

Quand une droite AB est parallèle à une autre droite CD tracée dans un plan MN , elle est parallèle à ce plan;

Ou bien que — Quand deux droites, AB, CD, sont parallèles, tout plan MN [le plan des parallèles excepté] mené suivant l'une d’elles DC, est parallèle à Vautre AB.

Et par conséquent,

Par un point donné , C par exemple, on peut mener une infinité de plans parallèles à une droite donnée AB.

N° 3c)4- On conçoit sans peine qu'il existe aussi des plans qui ne peuvent se rencontrer quelque loin qu’on les prolonge : tels seraient par exemple [comme nous pourrions aisément le prouver si cela n’était inutile pour le moment] , 3t{. les plans, MN, M'N' (fig. 3i4), déterminés par deux couples de droites , AB et CD , se coupant en un point 0 , A' B' et C'D', se coupant en un point 0', et parallèles, chacune à chacune, aux deux premières (voyez ci-après le n° 4^9» scol. t"). — On désigne de pareils plans, par la dénomination de Pi. ans Parallèles.

Il est évident que

Quand deux plans sont parallèles , toute droite menée dans Vun est parallèle à l’autre;

Et que , par suite.

Par un point donné , on peut mener une infnité de droites parallèles à un plan donné.

PRÉLIMINAIRES

Il n’est pas moins évident <|ue

Les intersections respectives , AB, CD (fig. 3i5), de deux t'ig3i5. plans parallèles , MN , PQ, avec une troisième AD , sont parallèles :

Car ces intersections sont dans un même plan; et si elles se rencontraient , les plans parallèles se rencontreraient.

Mais la réciproque est fausse : car il est évident que par chacune de deux parallèles et par un même point quelconque pris hors de leur plan , on peut toujours mener deux autres plans ; or ces plans se rencontrent nécessairement en ce point.

Il serait facile dVtabiir, par un raisonnement semblable à celui du nu» méro 1 34 » que portion d'espace comprise entre deux plans parallèles, est contenue un nombre infini de fois dans l’cspacc indéfini. f

N°395. Supposons actuellement — line droite OA (fig. 3 1 G) l'.g.3i6. ayant un seul point, 0, commun avec un plan MK : je dis qu’une pareille droite perce ou traverse le plan, et que le plan coupe la droite — et la partage en deux segmens indéfinis (110 5) qui sont situés respectivement de part et d’autre de ce plan.

Admettons en effet que la droite puisse prendre, par rapport au plan MN, la position AOB, tout entière d’un même côté de ce plan ; il en résulterait une absurdité : car en iiienaul dans le plan , par le point 0 , une droite COD, on aurait deux droites AOB, COD , nécessairement situées dans un même plan n° 12), et qui se rencontreraient sans se traverser.

N° 3g6. Il est facile de conclure de là , que

Deux droites peuvent ne pas se rencontrer, sans cependant être parallèles.

Soit en effet une droite AB ( lig. 317) qui vient percer d’une Fig. 317. manière quelconque, un plan MN en un point 0. — Il est clair d’abord que toute droite CD tracée dans ce plan sans passer par le point O, ne pourra rencontrer la droite AB; et ensuite que les deux droites ne peuvent être contenues à la fois dans un même plan, puisque ce plan , renfermant la droite CD et passant par le point O , se confondrait nécessairement avec le plan MN. Les deux droites AB, CD, ne satisfont donc qu’à

3ü5 GÉOMÉTRIE DANS l’£SPACE ; —

Fig. 317. une seule des deux conditions que suppose à la fois La définition des parallèles (n°* 71 et i32).

N® 397. Soient maintenant — Deux plans qui passent par Fig.3iG. 11 n même point 0 (fig. 3 16); je dis qu’ils se traversent mutuellement :

Car sans cela, en menant par le point commun 0, une droite AOB dans l’un des deux plans, et uiie droite COD dans l’autre, on aurait encore deux droites qui se rencontreraient en un point 0 sans se traverser.

Deux plans qui passent par un même point 0 ont donc une série de points communs.

Cela posé , — 1/ intersection de deux plans qui se rencontrent , est une ligne droite.

En effet, si par deux points de cette intersection, on mène une droite, cette droite sera contenue tout entière dans l’un et dans l’autre des deux plans (n° g); et de plus, ses différons points Seront évidemment les seuls qui puissent ainsi appartenir aux deux surfaces, puisque celles-ci ne sauraient, sans se confondre, avoir trois points communs (n° 1 1) non situés en ligne droite.

D’ailleurs, il résulte évidemment de la définition de la surface plane , que la piopriété précédente lui appartient exclusivement , et que par conséquent elle en est encore une propriété caractéristique. — 11 existe bien , à la vérité , d’autres surfaces qui peuvent se couper suivant des droites , mais seulement dans certaines positions relatives ; tandis que , dans aucun cas , deux plans ne peuvent se rencontrer autrement que suivant une ligne droite.

K® 3g8. De même que deux droites , en se coupant , partagent l’étendue de leur plan en quatre portions que nous avons nommées angles plans , ou plus simplement angles Fig. 3i8. (u° 69) : de même, deux plans AF, CK (fig. 3 18), en se coupant , partagent l’espace en quatre portions indéfinies que l’on nomme Angles Dièdres. Les côtés de chaque angle plan sont ici remplacés par deux moitiés de plan, ou régions indéfiuies

PRÉLIMINAIRES. 3og

(n° 1 3), qui comprennent chaque angle d ièdre , et que l’on nonune Fig. 3i8 ses faces ; elle sommet de l’angle est remplacé par l’intersection OP des deux plans , que l’on nomme Varète de l’angle dièdre. — Un angle dièdre se désigne , quand il est isolé , par deux points pris sur son arête ; mais quand plusieurs angles dièdres ont la racine arête , on emploie pour désigner chacun d’eux, quatre points [ou quatre lettres], dont les deux intermédiaires sont pris sur l’arète , et les deux extrêmes dans chacune des deux faces. Ainsi , les quatre angles dièdres de la figure 3 1 8 , s’énonceront respectivement: AOPG, COP F ,

BOPK, DOPE ; tandis que chacun d'eux , pris isolément, serait désigné simplement par OP.

N° 399. Lorsque, par un point quelconque de l’intersection de deux plans , on en fait passer un troisième qui coupe cette intersection , ou décompose chacun des quatre angles dièdres formés par les deux premiers plans , en deux portions indéfinies d’espace, de même nature , par conséquent, que les angles dièdres, et que l’on nomme des Angles Triédres; d’où l’on voit que trois plans qui se coupent en un même point (fig. 3i9), décomposent toujours l’espace en huit angles Fig.3ig trièdres , comme on le voit daus la fgura 319. — Mais nous n’avons pas besoin, pour le moment, d’entrer dans plus de détails sur cette figure ; nous y reviendrons.

N® 400. Avant de donner les définitions des autres objets que nous aurons à étudier dans cette seconde partie de la Géométrie', nous nous arrêterons un instant pour indiquer différentes analogies remarquables qui sont comme le résumé de ce qui précède , et qui acquerront beaucoup d’importance par la suite.

t° — Un point est contenu daus une infinité de droites, et aussi dans une infinité de plans (n° 1").

Une droite contient une infinité de points; — elle est contenue dans une infinité de plaus.

Un plan contient une infinité de points; — et aussi une infinité de droites.

3io

CÉOMLTfUE DANS L’ESPACE ;

?.J — Deux points déterminent une droite, qui les contient tous deux (n° 8).

Deux droites [ lorsqu’elles se reucootrent, ce qui, toutefois n’est qu’un cas particulier] , déterminent un point qu’elles contiennent toutes les deux ; — et un plan où elles sont contenues ensemble (n° ia)..

Deux plans déterminent [ordinairement, et en se rencontrant] une droite qui est contenue ( n° 397) tout entière dans chacun deux.

3® — Trois points déterminent [ordinairement] trois droites qui les contiennent -deux à deux , et un plan qui les contient tous trois (n° 1 1).

Enûu , — Trois plans déterminent [ ordinairement] trois droites, dont chacune est contenue dans deux de ces plans , et un point qui est contenu dans tous trois (n° 399}.

il faut se rappeler néanmoins , que les dernières de ces analogies sont sujettes , comme nous avons eu le soin de l’indiquer, à quelques exceptions qui ont été suffisamment expliquées par ce qui précède.

Reprenons maintenant les définitions que nous avons encore à faire connaître pour terminer les préliminaires de la Géométrie dans l'espace.

N® • 0» nomme en général Angle Polyèdre [et plus ordi-

nairement, mais improprement, Angle Solide], la portion indc- Jinie de T espace, comprise entre plusieurs plans qui se coupent 3ao. en utiméme pointé (fig. 32o). — Ce point se nomme le sommet; on appelle face , chacun des angles plans qui comprennent l’angle polyèdre; leur ensemble forme la surface ; et les intersections de ces mêmes faces prises deux A deux , SA , SB , SC , SD, SE, sont les arêtes. Chacune des arêtes sert en même temps de côté à deux faces contiguës. — Il faut encore distinguer dans un angle polyèdre , autant d’angles dièdres qu’il a de faces.

Un angle polyèdre se désigne par la lettre de son sommet , après laquelle ou énonce ordinairement [ à moins que cet angle ne soit isolé] des lettres qui servent à représenter respectivement un point de chaque arête.

PRÉLIMINAIRES

Pour indiquer le nombre des faces, on remplace ordinairement la dénomination générale d’angle polyèdre, par celles d’angle trièdre , tétraèdre, pentaèdre, etc., suivant que te nombre des faces est trois , quatre , cinq , etc. — L’angle trièdre est évidemment, d’après la définition ci-dessus, le plus simple des angles polyèdres.

Un angle polyèdre de plus de trois faces peut avoir un ou plusieurs angles dièdres rentrons : il est alors concave j si tous ses angles dièdres sont saillans , il est convexe. — On peut dire encore qu'un angle polyèdre est convexe ou concave, suivant qu’une droite peut percer sa surface en deux points seulement ou en un plus grand nombre de points ; etc. {voyez le n° 21 5).

On nomme plan diagonal, tout plan , SAC, SAD, mené par deux arêtes qui n’appartiennent pas à la même face. — Au moyen d’un nombre convenable de pareils plans ,

Tout angle polyèdre est dècomposable en angles trièdres.

De la même manière que tout polygone est dècomposable en triangles au moyen de diagonales.

Un angle polyèdre est régulier quand il a toutes ses faces égales et tous ses angles dièdres égaux ; il est alors nécessairement convexe. t>

N° 402. On nomme en général Polyèdtve (*) (fig. B21), une Fig.3ai. portion d’espace, ou plus simplement , un espace entièrement circonscrit par plusieurs plans qui se coupent deux à deux.

— f.e polyèdre se trouve ainsi limité par une série de polygones que l’on nomme ses faces , et dont l’ensemble constitue la surface du polyèdre; les cAtés de ces faces sont les arêtes du - polyèdre ; et les points d’intersection de ces arêtes en sont les sommets. On nomme diagonale toute droite meuée entre deux sommets qui ne terminent pas une même arête , et plan diagonal tout plan mené par trois sommets non situés sur la même face. — Il y a encore h considérer dans un polyèdre , autant d’angles dièdres qu’il a d’arètes , et autant d’angles polyèdres qu’il a de sommets. — Le polyèdre est convexe lorsque

(*) De nsKvt, multiple ; cl hase.

3l3 GÉOMÉTRIE Di!*S l’eSPAOE ;

tous s es angles polyèdres son isaillans; il est concave si quelqu’un d’eux est rentrant Ou bien, un polyèdre est convexe lorsqu’une droite ne peut rencontrer sa surface en plus dedeux points, ou que le plan prolongé d'une face quelconque ne peut couper la figure , ou , ce qui est la même chose , lorsque le polyèdre est tout entier d’un meme côté d’une face quelconque inde'finiment prolongée. — Deux polyèdres convexes coïncident lorsqu’ils ont les memes sommets (voyez le r.* 2i5).

Les plus simples des polyèdres sont, d'abord les Prismes Fig. Sas. (fig. 322), qui ont pour faces, deux polygones égaux et parallèles , et une série de parallélogrammes en nombre égal à ce~ Fig. a33 lui des côtés de chaque polygone ; puis les Py ramides (fig. 3a3) , qui ont pour faces , un polygone et un nombre quelconque de côtés j et une série de triangles dont le sommet est commun.

Un PoerfenRE est clil Régclifh lor»tjne toutes ses faces sont des potygonés réguliers égaux entre eux , et que tous sef angles dièdres'sont égaux* — D’après celte dclinilion , uq polyèdre régulier c*i ne cessai reine ot convexe [voyez le n1* 75).

N° 4°3. Nous avons vu précédemment (n° i"), que Sur une surface quelconque on peut concevoir une infinité de lignes; d’où il résulte que toutes les surfaces peuvent être considérées comme engendrées par le mouvement d’une ligne. Fig. 3a$ — Cette ligue, MN (üg. 3a4 cl 325), généralement variable de ci'iu. forme cn même temps que de position, se nomme par cette raison, la génératrice de la surface; et pour achever de déterminer cette dernière, on suppose que la génératrice est assujettie à glisser le long d’une ligne droite ou courbcAB,que l’on nomme la directrice.

Cela posé, il est naturel de considérer comme les plus simples , les surfaces qui ont pour génératrice une ligne droite , et que l’on nomme Surfaces Réglées pour exprimer que l'on peut, en chaque point , y appliquer une droite , au moins dans un sens. Cbacuue des positions de la génératrice, ou chacune des directions suivant lesquelles on peut appliquer ainsi tme droite sur la surface, se nomme une arête de celte surface-

PRÉLIMINAIRES. 3 1 3

Le genre des surfaces réglées se divise en trois espèces.

Le plan, par sa Daturc, étant nécessairement une surface réglée , et la plus simple de toutes , en constitue à lui seul la première espèce ; les deux autres ne contiennent que des surfaces courbes.

Dans les surfaces réglées de la seconde espèce , composant la première espèce des surfaces réglées courbes, deux arêtes consecutives, c’est-à-dire infiniment voisines, sont constamment dans un même plan ; on les nomme Surfaces Développables, eu raison de ce qu'elles peuvent se dérouler, s’étendre, ou se développer sur un plan : il résulte en effet de leur définition , qu'elles peuvent être considérées comme composées de portions de plau, infiniment étroites dans un sens, mais infiniment allongées dans celui de leurs arêtes; et comme d’ailleurs chaque arête sc trouve commune à deux portions consécutives, il s'ensuit que deux portions consécutives quelconques peuvent s’appliquer l’une à côté de l’autre sur un même plan, et que par conséquent il en est de meme pour la surface entière.

Au reste , il est facile de voir que les portions de plan consécutives infiniment petites dont il est ici question peuvent être de deux sortes; savoir : des angles infiniment petits, lorsque les arêtes consécutives se coupent deux à deux ; et au contraire des baudes infiniment étroites et indéfinies en longueur , lorsque les arêtes consécutives sont parallèles.

Enfin , !;i troisième espèce des surfaces réglées, nu la seconde espèce des surfaces réglées courbes , comprend loutes celles dans lesquelles deux arêtes consécutives quelconques ne se trouvent pas dans un même plan : on les nomme Surfaces Gauches {*).

(*) Les arts nous ulTYont une multitude d’exemples de surfaces réglées : ainsi , les surfaces des voûtes dites en berceau, en plein ceint re, sont des surfaces développables; il en est de même généralement des surfaces exécutées par les carlonniers , les ferblantiers , etc., puisqu'on les construit en pliant, en courbant, en contournant de diverses manières, des surfaces planes. Au contraire, la surface inférieure d’un escalier tournant, engendrée par une droite horizontale qui glisse le long d’une verticale, cl nommée colloïde, est unçsurfncc gaoclie , etc.