I 4 GÉOMÉTRIE DANS L'ESPACE J

N” 4°4‘ Mais revenons aux surfaces développables, les seules surfaces réglées que l’on considère dans les élémens de Géométrie.

Les plus simples parmi ces surfaces, sont les Surfaces Fig.îaf Cylindriques (fig. 324)- — On nomme ainsi , les surfaces engendrées par le mouvement d' une droite dont deux positions consécutives [ou infiniment rapprochées ], sont constamment parallèles entre elles. — Toutes les génératrices consecutives se trouvant ainsi deux à deux dans un même plan puisqu’elles sont parallèles, il est clair que la surface est développable.

On nomme Cylindre, V espace renfermé entre une surface cylindrique et deux plans parallèles entre eux [ ce qui suppose que la directrice de la surface est une courbe fermée]. — Les sections parallèles sont les bases du cylindre. — Le cylindre est dit circulaire quand les bases sont des cercles.

Après les surfaces cylindriques viennent les Surfaces Coni- Fig. 3i5. QUES (fig. 325). — On nomme ainsi, les surfaces engendrtés par le mouvement d’une droite qui passe constamment par un même point.— Ce point se nomme le sommet ou le centre de la surface. Toute surface conique est nécessairement composée de deux portions indéfinies qui se réunissent au sommet : ces deux portions se nomment les nappes de la surface. — Les génératrices étant encore deux à deux dans un même plan puisqu’elles se coupent , la surface est développable.

On nomme Cône, V espace renfermé entre une surface conique et un plan [ce qui suppose que la directrice est une courbe fermée. ] — Cette section plane se nomme la base du cône ; le cône est dit circulaire quand cette base est un cercle.

Fniin , rr lient les surface* don l -les génératrices consecutive» se coupent tlenx h deux, mais en des points variables : [c'est le cas le plus général des surfaces développable») . — On ne donne pas de nom spécial .H ces surfaces ; mais le lieu des intersections consécutives des génératrices te nomme l'a-

— PRÉLIMINAIRES. 3l5

rite de rebroussement. Il cit facile de voir que celle ari le [qui est toujours une courlie 4 double courbure (no I j)] partage encore la surface en deux portions dislinctcsjque l’on nomme de même ses deux nappes •

N° 4o5. Les plus simples des surfaces, après les surfaces réglées, sont les Surfaces de Révolution (fig. 3?.6). — On appelle Fig.3a6. ainsi', les surfaces engendrées par la révolution d' une ligne droite ou courbe, à simple ou à double courbure (nu i4), tournant autour d’une droite que l’on nomme I'Axe de révolution (n° 46), de manière que, dans ce mouvement, chaque point de la génératrice décrive une circonférence de cercle ayant son centre sur l’axe , et dont tous les rayons restent constamment perpendiculaires à cet axe (*), comme on l’expliquera avec plus de détails quand il en sera temps.

On nomme lignes méridiennes , ou sections méridiennes , les intersections de la surface par les plans que l’on peut mener suivant l’axe. — Toutes les sections méridiennes sont évidemment égales entre elles.

On nomme cercles parallèles de la surface , les différens cercles dont les circonférences sont décrites par chaque point de la génératrice ; et quand cette génératrice est une ligne à simple courbure dont le plan contient l’axe de révolution , les rayons de ces cercles restent constamment parallèles entre eux dans leur mouvement.

Celles des surfaces coniques et cylindriques que l’on considère ordinairement dans la Géométrie élémentaire, sont aussi des surfaces de révolution , comme la suite le fera voir.

On appelle généralement et improprement corps rond, tout espace renfermé, soit dans une surface de révolution, soit entre une portion de surface de révolution et les divers cercles parallèles de la surface.

Le cône et le cylindre que l’on obtient (n* 4o4) en coupant les surfaces conique et cylindrique de révolution, par des plans perpendiculaires à l’axe, sont donc des coips ronds.

(’) Telle» »ont le» surfaces qoe l'on construit an moyen du tour ordinaire .

3l6 GÉOMÉTRIE DANS L'ESPACE; —

N° 4°6- La plus simple des surfaces de révolution , après celles dont nous venons de parler, est la Surface Sphérique Fig. 327. (fig. 327). — Celte surface est engendrée par la révolution d une demi-circonférence qui tourne autour du diamètre qui lui sert de corde. Il résulte de là qu’on peut encore en donner la définition suivante : une surface courbe entièrement fermée , dont tous les points sont également distant d’un point intérieur que l’on nomme Centre (voyez le n° 16).

La Sphère est l’espace renfermé dans la surface sphérique : [cependant ce nom s’applique aussi à la surface elle-même]; c’est le troisième et dernier des principaux corps ronds (n° 4o5) que l’on considère ordinairement dans la Géométrie élémentaire.

La sphère est donc, dans l’espace, relativement aux surfaces courbes, ce que le cercle est par rapport aux courbes planes.

Ainsi , l’ou nomme de même, Rayon de la sphère, la distance constante du centre à la surface , et Diamètre, toute droite qui, passant parle centre, aboutit de part et d’autre à la surface. — Tous les diamètres sont égaux et doubles du rayon , comme dans le cercle. — Deux sphères sont égales lorsqu’elles ont meme rayon ou même diamètre (voyez le u° 16 et les suiv.).

Une sphère se désigne ordinairement, soit par un rayon, OA Fig. 3i8. (fig. 328) [le centre élanténoncé le premier], soit simplement par la lettre, O, du centre, soit enfin par quatre points de sa surface, non situés dans un même plan: [la suite justifiera cette énonciation].

N° 4°7- Tout plan PQ (Gg. 3a8) passant par le centre O de la sphère , coupe sa surface suivant une ligne courbe, qui est évidemment un cercle de même centre et de même rayon que la surface elle-même (n°* 16 et 406).

De plus , il est facile de prouver, par un raisonnement analogue à celui du numéro t8, qu’un pareil plan partage la sphère et sa surface en deux parties égales .• on les nomme hémisphères.

— PRÉLIMINAIRES

Pour suivre en tous points, relativement à la Géométrie dans l’espace , la marche que nous avons suivie pour la Géométrie plane , nous devrions examiner les diverses propriétés de la sphère simultanément avec celles de la ligne droite et de la surface plane.— Mais, en nous hdtant de traiter du cercle, nous avions pour but d’habituer les élèves à manier le compas en meme temps que la règle, et de les mettre à même d’exécuter le plus tôt possible les principales opérations graphiques de la Géométrie. N’étant plus , dans le cas actuel, sollicité par un motif aussi puissant, nous étudierons de préférence les propriétés de la sphère dans un chapitre spécial.

N° 4o8. De mime qn’une ligne courbe peut être regardée comme composte d’une infinité île ligne» limites infiniment petite» (n"ajo): de même aussi

On peut considérer toute surface , comme composée d'une infinité de facettes planes infiniment petites.

Ko effet , on peut d’abord prendre sur In surface , une infinité de point» infiniment rapprochés; on peut ensuite supposer tous les points voisins réunis deux & deux par des droites qui seront infiniment petites, et qui par conséquent pourront être regardées comme étant toutes sur ta surface. Comme • d’ailleurs trois points déteimincnt un plan, et que pour réunir trois points deux h deux, trois droites sont néerssaires , il s’ensnit que la surface se trouvera aiusi décomposée en une infinité de triangles plans infiniment petits.

— Ces facettes triangulaires infiniment petites sont ce qnc l’on nomme encore (voyez. le n° a j n } les élément de lu surface courbe; et l’on peut conclure de la possibilité de celte décomposition de toute surface courbe en élcmens plans, que

Ijes surfaces courbes jouissent , en général , des mêmes propriétés que les surfaces polyèdres.

N°4og. Cela posé, on nomme plan tangent It la surface (fît!. 3ag), chacun Fig. 3ag. des plans de ces élémens indéfiniment prolongés il l’entour. Si par l’élément on par le point de tengence , on trace une série quelconque de courbes sur la surface, et qne par le même point on mène des tangentes à ces courbes, tontes ces tangentes, qui seront aussi des tangentes a la surface , se trouveront dans le plan tangent. En effet , chacune des courbes tracées sur la surface, a un élément dans le plan du triangle élémentaire commun il la snrface et au plan tangent; donc le prolongement de l’élément de la coorbe est dans le plan du triangle élémentaire, indéfiniment prolongé.

3 1 B GÉO.MÉTR. OARS L’ESP. ; — PRÉUM.

Le plan tangent peut aussi être considéré comme la limite d’un plan sécant [c’est-à-dire qui coupe la surface], dont plusieurs points communs avec la surface se sont réunis en uu seul. Et lorsqu’il n’y a plus aucun autre point commun entre le plan et la surface courbe, on dit, en employant une définition analogue à celle que l’on a adoptée pour la tangente au cercle (n° 21), que le plan langent est celui qui n’a qu’un point commun avec la surface ; mais cette définition n’est pas admissible en général, et ne peut présenter l’idée de contact, que pour les surfaces qui [comme la sphère] satisfont à deux conditions : la première d’ètre convexes, c’est-à-dire de ne pouvoir être percées par une ligne droite en plus de deux points (n° 7), et la seconde d’ètre fermées de toutes parts. — Ainsi par exemple, dans les surfaces développables, qui ont une infinité d’élémens situés dans un même plan et en ligne droite (u° /fo3), le plan tangent touche la surface suivant toute la longueur d’une arête. On peut alors le définir ainsi : un plan dont deux arêtes d" intersection avec la surface sont réunies en une seule , ou un plan qui na qu’une arête commune avec la surface ( voyez le 11“ 21 ).

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