CHAPITRE III

DES ANGLES DIÈDRES, TRIÈDRES, ET POLYÈDRES.

§ I". — Des dnglcs Dièdres.

N° 444* Nous avons donné dans le numéro 398 la définition des angles dièdres ; et nous avons démontré dans le chapitre premier de ce Livre (ti° 4^4) j plusieurs propositions relatives au cas particulier où les quatre angles dièdres formés par deux plans qui se coupent , étant égaux , sont dits des angles dièdres droits ou rectangles , et où les plans euxmêmes sont dits perpendiculaires entre eux.

Considérons maintenant le cas général , où les deux plans se coupeut en faisant des angles dièdres quelconques Fig.3i8. (%• 3 18).

Les deux angles dièdres AOPG , BOPK , .dont chacun est compris entre les prolongcmens des faces de l'autre , sont dits des angles dièdres opposés ; il en est de même des angles dièdres AOPK , BOPG .-s- [Voyez le n" 70.)

Et au contraire, deux angles dièdres consécutifs qui ont une face commune et dont les autres faces sont mutuellement les prolongcmens l’une de l’autre, sont dits des angles dièdres adjacens : tels sont les anglès dièdres AOPG ét COPF, COPF et BOPK , BOPK et DOPE , DOPE et AOPG , pris ainsi deux à deux. — [Voyez le même n® 70.)

Fig. 363. N® 445 Cela posé par un point 1 (fig. 363) pris sur l’a-

rète OP, supposons qu’on élève une perpendiculaire IG dans le plan OC, et une perpendiculaire IK dans le plan OD; il en résultera un angle plan GIK : nous le nommerons Y angle plan correspondant à t angle dièdre OP; et nous appellerons ainsi,

ANGLES DIÈDRES. t 3 tfo

en géne'ral, l 'angle formé par deux perpendiculaires à l’ arête, Fig.363. menées respectivement dans chacune des deux faces , par un de ses points. • . .

Réciproquement , l’angle dièdre correspondant à un angle plan IGK. , s’obtiendra en élevant , par le sommet de ce dernier, une perpendiculaire OP sur son plan , puis menant un plan par chacun des deux côtes IG, IK, et par la perpendiculaire OP.

Or il est important d’observer, que , d’après le numéro 43g , L’angle plan correspondant à un angle dièdre, a la même grandeur pour tous les points de l’ arête.

Cette proposition n’est d’ailleurs qu’un cas particulier de cette autre- plus générale, qui se déduit du même -théorème et de la proposition du numéro 3g4 , savoir : que

Les angles plans résultant de l’intersection d’un angle dièdre par deux plans parallèles , sont égaux. -‘

Il est d’ailleurs évident, que '

Les angles dièdres droits sont ceux qui correspondent aux angles plans droits. — (Voyez le n° coroll’. t", 2*, et 3*.)

N° 446. De ce qui précède il est aisé de tirer les conséquences générales suivantes n -

D’abord — A des angles plans égaux entre eux, GIK, G'I’K'

(fig. 363), correspondent des angles dièdres égaux entre eux.

En effet, faisons coïncider les angles GIK , G'I'K' : les droites OPjO'P', coïncideront (n° 4 17,2°) ; donc les plans OC et O’C' coïncideront (n° ta) , ainsi que les plans OD et O’D' : donc, etc.

Il résulte de là, qu’à un angle plan double, triple, quart.

druple correspond un angle dièdre double, triple ^

quadruple. . . ; — et plus , généralement :

A un plus grand angle plan correspond un angle dièdre.

plus grand. •

D’ailleurs, les réciproques de ces propositions sont évidentes d’après le numéro 5 1 .

Nous allons maintenant généraliser.