IV. III ; CHAI*. III ; Ç I

Théorème I. Fig. 3 64.

Fig.364. tes angles dièdres, AOPD, AOPD', sont proportionnels aux angles plans correspondons , AOB, AOB'.

Supposons que les angles dièdres proposés soient placés de manière à avoir la meme arête OP et une face commune AOPC, et que de plus, les pieds des perpendiculaires élevées sur l’arète dans les diverses faces, pour former les côtés des angles plans respectivement correspondans , se confondant en un même point O de cette arête.

On voit d’abord que ce* perpendiculaires OA, OB, OB', seront dans un même plan (n°4«3, coroll.) : ce qui rend comparables les angles AOB, AOB' (n°* 63, scol. 2; îai; etc.), aussi bien que les angles dièdres AOPD, AOPD'.

Cela posé , si l’on effectue les deux séries d’opérations necessaires pour trouver, d’une part, la plus grande mesure commune aux deux qngles plans, et d’autre part la plus grande mesure commune aux deux angles dièdres correspondans , il est évident — i° que les quotiens successifs obtenus de part et d’autre seront constamment égaux deux à deux et dans le même ordre; — et 20 que l’une des divisions successives ne peut donner de reste, sans que sa correspondante donne aussi un reste. — Donc les deux conditions nécessaires à la proportionnalité des angles et des arcs, étant remplies {voyez les n°‘ 66 et iai ), on a

aopd : aopd' :: aob : AOB'.

Scolie i". — On voit par ce théorème, que les angle* dièdres sont dans l’espace, ce que sont sur un plan les angles formés par deux droites.

Aussi — tes angles dièdres jouissent - ils , en général , des mêmes propriétés que les angles plans qui leur correspondent.

Ainsi , — De même que les angles opposés, formés par deux droites qui se coupent, sont égaux deux à deux (n° 1 1 4 ) »

De même — tes angles dièdres opposés, formés par deux plans qui se coupent , sont aussi égaux deux à deux ;

ANGLES DIÈDRES. 3.$q

De même qu’un augle ne peut être contenu dans un plan , qu’un nombre de fois limité ( n° i33),

De même — Un angle dièdre ne peut être contenu dans l’ espace, qu’un nombre de fois limité.

[On pourrait mime, en t’appuyant sur ce qn’ou a vu dans le numéro 3g4 » démontrer la icconde partie du théorème du numéro 4?G , pur un raison nement analogue à celui du numéro i3G.]

Scol. 2. — On nomme plan bissecteur d’un angle dièdre, le plan qui , passant par son arête , partage l’angle plan correspondant, et par suite l'angle dièdre lui-même, chacun en deux parties égales ou superposables (voyez le n° 70),

N° 44^- Remarque. — D’après le théorème précédent, si l’on prend pour unité des angles dièdres , celui qui correspond à l’unité des angles plans , on pourra établir que

Tout angle dièdre AOPD (fig. 364) a 1° mesure que Fig. 364-

r angle plan correspondant AOB, — [ou bien que rare correspondant à ce dernier (voyez le n° 122)].

Car, si dans la proportion du numéro précédent (n° 44? )> on suppose que l’angle dièdre AOPD’, et l'angle plan correspondant AOB', sont respectivement, l'unité des angles dièdres, et l’unité des angles plans , l'énoncé de la proportion se réduira simplement A Yégalilé numérique :

AOPD = AOB ,

[ou même AOPD = AB, en nommant AB l’arc correspondant A l’angle plan AOB (voyez le n° 122 )].

Maintenant , de même que l’on a pris Y angle plan droit pour unité des angles (n° 10g) [et le quadrant pour unité des arcs ( n° 122)], de même , on prend Y angle dièdre droit pour unité des angles dièdres;— et alors, la mesure ou la valeur numérique d’un angle dièdre, n’est autre chose que son rapport A l’angle dièdre rectangle , rapport qui est le même que celui de l’angle plan correspondant, à l’angle droit, — [ou enfin, que le rapport de l’arc correspondant, au quadrant].

35o ANGLES DIÈDRES.

Lorsque l’angle dièdre de deux plans n’est pas droit , les plans sont dits obliques l’un à l’autre : Y angle d Ordre est alors obliquangle ; et il est dit aigu ou obtus dans les mêmes circonstances que l’angle plan qui lui correspond.

Les dénominations d'angles dièdres complémentaires , ou supplémentaires, s’appliquent également aux angles dièdres, en même temps qu’aux angles plans [ou aux arcscorrespondans].

[Nous reviendrons plus lo.in sur ce sujet , pour faire voir encore que l’angle correspondant est le seul qui puisse servir de mesure à l’angle dièdre].

N® 449- Théorème II. Fig. 365.

Fig. 365. Si d'un point 0 pris dans Y intérieur d’un angle dièdre RIPNQ, on abaisse des perpendiculaires, O A, OB , sur ses faces , l’angle AOB de ces perpendiculaires sera le supplément de T angle dièdre.

En effet, le plan AOB est perpendiculaire à chacun des plans MN, PQ (n° 424)» et Par su'tl> à leur intersection PN (n° 4z5 ) qu’il coupe en un point C ; donc ACB est l’angle correspondant à l’angle dièdre ( n® 44^)- Or celui-ci est le supplément de AOB ( n® iq3 , corolt. ) : — donc, etc.

Scolie. — Au lieu d’abaisser les perpendiculaires d’un point pris dans l’intérieur de l’angle dièdre , on pourrait les élever par un point de l’arète. Alors, en les supposant indéfinies dans les deux sens. On obtiendrait quatre angles, dont deux égaux à celui qui correspond à l’angle dièdre , et chacun des deux autres supplémentaires des deux premiers.

N® 45o. Théorème III. Fig. 366.

Fig. 306. 1® Tout point E pris sur le plan bissecteur OE d" un angle

dièdre BOAC, est également distant des deux faces de cet angle dièdre ;

2° Tout point situé dans T intérieur de F angle dièdre et hors du plan bissecteur, est inégalement distant des mêmes faces.

LlV. III ; CHAP. III ; § II. 35l

i° Soient EG , El , les perpendiculaires abaissées respectivement du point E sur les faces AB , AC , de l'angle dièdre proposé : le plan GEI sera perpendiculaire à chacune de ces deux faces ( u° 4^4)* et Par suite à l’arèle OA (n° 425). De plus, les angles GAE, EAl , GAI , correspondront respectivement aux angles dièdres partiels BOAE, DOAI , et à l'angle dièdre total BOAl (n* 44^)> et l’intersection AE du plan perpendiculaire GEI avec le plan bissecteur OE, sera la bissectrice de l’angle GAI (u° 44^)- Les droites EG, El, seront donc égales entre elles ( n° n5) .

2° Pour la démonstration de la seconde partie du théorème, nous nous contenterons de renvoyer au numéro 1 15.

Scolie i" — Le plan bissecteur d’un angle dièdre est le lieu des points qui sont également distans des deux faces de cet angle dièdre. — C’est un plan de symétrie (voyez le n°4i6, coroll. i”).

Scol. a. — En nommant plan bissecteur d’an angle plan , le plan élevé perpendiculairement suivant la bissectrice de celoi-ci, dont il est aussi un plan de symétrie, on aura , pour l’angle plan, un autre théorème analogue au précédent, et d’oü il résulte que le plan bissecteur d’un angle plan, est le lieu des points également distans de scs côtés.

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§ II- — Des Angles Trièdres en général.

N" 45i. Soient les huit angles trièdresSABC, SA'BC, SAB'C SA'B'C, SA'B'C', SAB'C', SA'BC', SABC' (fig. 367), formés par trois plans qui se coupent au point S. [On peut, pour plus de facilité , se représenter les deux droites AA', BB', comme étant dans le plan de la figure , puis l’arète SC avec les quatre premiers angles trièdres, comme étant en avant de ce plan, et l’arète SC' avec les quatre autres angles trièdres, comme étant derrière .] Examinons les relations qui lient chacun de ces angles trièdres, SABC par exemple, avec les autres.

D’abord , SABC et SA'BC ont une face commune BSC, et un angle dièdre égal , opposé , dans chacun d’eux , à cette face

Fig. 3fl6.

Fig. 367.

35a UV. III; CHAP. III ; § II. —

Fig. 36;. commune. De plus, les faces ASB et ASC du premier, sont respectivement supplémentaires (n° m) des faces A'SB et A'SC du second ; et il en est de même des angles dièdres SB et SC du premier, qui sont respectivement supplémentaires des angles dièdres SB et SC du second. A cause de ces propriété*, nous dirons que l’angle tièdre SA'BC est conjugué de F angle iri'edre SABC par lajace BSC, et réciproquement. De même, les angles trièdres SABC, SAB'C , sont conjugués par la face ASC, et les angles trièdres SABC, SABC', par la face ASB. [Si plusieurs couples d’angles trièdres conjugués avaient la meme face , BSC par exemple, il faudrait dire que les angles trièdres SABC et SA'BC sont conjugués par la face BSC et parlante AA', ce qui les déterminerait complètement.] — L’angle trièdre SABC augmente de son conjugué par la face BSC, forme une somme égale à l’angle dièdre AA' opposé à cette face. Il en est de même pour les autres angles trièdres conjugués de SABC.

N° 45a. Maintenant , les angles trièdres SABC et SA'B'C' ont les fhees égales chacune à chacune [comme opposée» (n° n4)], mais inversement disposées j pour cette raison, ces deux angles trièdres sont dits symétriques entre eux, ousimplement symétriques. — On remarquera d’ailleurs : — i° que trois faces données ne peuvent être disposées pour faire un angle trièdre , que de l’une de ces deux manières (voyez le n° 175); — 2° que deux angles trièdres peuvent être symétriques indépendamment, de leur position relative dans l’espace; — 3° que la symétrie des angles trièdres diffère de celle des triangles , en ce qu’il suffit de renverser un triangle symétrique d un autre, pour les faire coïncider (n°* 43 et 175)), tandis que deux angles trièdres symétriques ne sauraient [en général] coïncider en aucune manière ; — et enfin 4° que les angles dièdres SA', SB', SC', de l’angle trièdre SA'B'C', sont respectivement égaux chacun à chacun, comme opposés, aux angles dièdres SA , SB, SC, de l’angle trièdre SABC symétrique du premier.

— ANG!.r.S TRIKDRES.

(Juaut aux angles trièdres SAB'C', SA'BC', SA'B'C, dont on Fig.36j. n’a pas encore parlé , ils août, chacun à chacun, symétriques des angles trièdres SA'BC, SAB'C, et SABC', ou des conjugués de l’angle trièdre SABC ; et par suite , ils sont eux-mêmes les conjugués de l’angle trièdre SA'B'C'. L’un d’eux , par exemple SAB'C', et l’angle trièdre SABC , ont un angle dièdre égal comme opposé par l’arète SA ; et les faces de ces deux angles dièdres sont supplémentaires chacune à chacune.

Enfin, il faut observer que dans la mcine figure, quatre angles trièdres qui se trouvent du même côté d’un même plan , forment toujours une somme égale à 2 angles dièdres droits : c’est ce qui a lieu, par exemple , pour les quatre angles trièdres SABC , SA'BC , SAB'C , et SA'B'C.

N° 455. Thf.okf.mf. IV. Fig. 368.

Si d'un point quelconque [j] pris dans l’intérieur d un Fig. 368. angle trièdre SABC, on abaisse des perpendiculaires sur ses faces [ sa sur BSC, sb sur CSA, sc sur ASB], il en résultera un nouvel angle trièdre [sabc] dont les faces seront les supplémens respectifs des angles dièdres du premier ; — et réciproquement les faces du premier seront les supplémens respectifs des angles dièdres du second.

’ ■ ■ 1 • ■ \ . vv • ■ I H : *11 1 , IIMXI JU.

Soient A, B, C, les points d’intersection respectifs des arêtes SA , SB , SC , de l’angle trièdre SABC , par les faces bsc , csa , asb , de l’angle trièdre sabc : les droites A b, A c, seront les intersections respectives des faces CSA , ASB , du premier angle trièdre [S] , par la face bsc du second angle trièdre [ r] ; de même , Bc , Bo , seront les intersections respectives des faces ASB , BSC , par la face csa-, et enfin Ca , Cb , seront les intersections des faces BSC , CSA , par la face asb.

Cela posé , d’après la démonstration du numéro 449 > les arêtes SA, SB, SC, de l’angle trièdreS, sont respectivement