CYLINDRE

N° 49°- Théorème VIII. Fig. 390.

Tout plan mené suivant une arête MP d'une surface pig 3y<) cylindrique convexe et suivant une tangente TU à sa base A BP, est tangent à la surface cylindrique ; — et réciproquement.

En effet, le plan et la surface ont d'abord l'arête commune MP : prouvons qu’ils 11’ont pas d’autre point commun que ceux de cette arête. Pour cela , soit N un autre point supposé commun : l’arête qui passe par le point N sc trouvant à la fois dans le plan ( n° 3ga) et dans la surface (n° 489), devrait percer le plan de la base en un point Q, différent de P, qui appartiendrait également à la circonférence delà base ABP et à la tangente TU , ce qui est absurde (n° ttl) ; donc le plan n’a pas d’autres points communs avec la surface, que ceux de l’arête MP : donc , etc.

Réciproquement : — Le plan qui touche la surface cylindrique suivant une arête , coupe le plan de la base suivant une droite TU tangente à la base. Car si la droite d’intersection TU pouvait avoir, avec la circonférence de la base, plusieurs points communs, P, Q, les arêtes qui passent par les {■oints P, Q, se trouveraient à la fois dans la surface et dans le plan tangent ; — Ce qui est absurde. •

S col ie. — La même proposition a encore lieu pour le* surfaces cylindriques qui ne sont pas convexes; mais la démonstration precedente n’est plus applicable & ce cas ( voyez les i^\ et 4°9)-

N° 491* Théorème IX. Fig. 38ç).

Tout plan parallèle à la base OA d'une surface cylindrique Fig. 38g. circulaire , coupe cette surface suivant un cercle égal à la base. ■

38a LIV . III; CHAP. IV; § III. —

Soient OA, OB, «Jeux rayons quelconques de la base, et O', A', B', les intersections respectives de l’axe 00' et des deux arêtes AA', BB', avec un plan quelconque parallèle à la base : les droites 00', AA', BB', seront parallèles , et égales ( n° 43y ) ; donc aussi O'A' = OA , O'B' = OB , par conséquent O' A' = O'B' : donc , etc.

Scolie i*'. — De là il résulte, comme on l’a annoncé précédemment (n° 4°5), que dans la génération de la surface cylindrique circulaire droite, tous les points de la génératrice décrivent des cercles égaux et parallèles à la base, ayant jiour axe commun celui de cette base (n° 421 , coroll. 1") ; et par conséquent cette surface est une surface de révolution qui a le même axe que ces cercles.

Scoi. 1. — Proposition analogue pour une surface cylindrique quelconque : — Le s intersection s d'une surface cylindrique par des plans parallèles sont des courbes égales; ce qui résulte d’ailleurs de la proposition démontrée pour le prisme (n« $8o).

Il s’ensuit que tonte surface cylindrique peut être engendrée par sa directrice dont les points se mouvraient parallèlement, chacun sur nue même arête.

Fig.38<). N°492. Un cylindre circulaire droit (fig. 38g) peut être con-

sidéré comme engendré par la révolution d’un rectangle OA' autour d’un de ses côtés 00' qui devient Vaxe du cylindre. L’axe est égal aux arêtes et à la hauteur.

En menant un plan suivant l’axe du cylindre, on a pour section un rectangle CA' double du rectangle générateur : on peut désigner le cylindre par ce dernier rectangle , en disant le cylindre CA'. — Lorsque ce même rectangle [double] est un carré, le cylindre est dit équilatéral.

Les bases du cylindre droit étant perpendiculaires aux arêtes, il s’ensuit que, dans le développement de sa surface latérale, la circonférence de chaque base devient une ligne droite également perpendiculaire à ces arêtes. Et par conséquent, en supposant cette surface ouverte ou fendue le long d’uue arête, on voit qu’elle doit prendre, après son dévelop—