PARALLÉLÉPIPÈDE
N" 486. Théorème VI.
Tout plan diagonal d’un parallélépipède le décompose en deux prismes triangulaires sjmétriques entre eux:
En effet , les deux prismes (u° 483 , scol. 3) ont deux angles trièdres symétriques entre eux (n° 485) , formés par des faces égaleschacuneà chacune (n° 483) : donc, etc. (n°48i, coroll. Ier).
Réciproquement : — Deux prismes triangulaires symétriques entre eux peuvent s’assembler [de trois manières] pour composer un parallélépipède.
Scolie. — Les deux prismes triangulaires sont égaux si le parallélépipède est droit, [en supposant toutefois , si ce parallélépipède n'est pas rectangle , que les arêtes par lesquelles est mené le plan diagonal , soient les arêtes latérales] .
N° 487. Théorème VII. Fig. 385.
Dans tout parallélépipède rectangle OG , le carré d'une Fig. 385. diagonale est égal à la somme des carrés de trois arêtes adjacentes [ou formant un même angle trièdre (n° 483, scol. a)].
On a , par exemple , OG* = OC* -+• CG* ;
or CG* = 0F*=r0B*-f-BF*=0B’-f 0A>:
donc 0G» = 0A*4-0B*-h0C*; C.Ç.F.Z7.
Corollaire 1”. — Les quatre diagonales d’un parallélépipède rectangle sont égales.
Coroll. 2. — Le carré de la diagonale d’ un cube est égal au triple du carré de la diagonale d’une arête.
38o LIV. III j CH AP* IV; § III. —
N° 488. Do Rhomboèdre — Le rhomboèdre cM tin parallélépipède dan* leqoel toute» le» face» sont de» rhombes égaux (n° aoa), — Il y en a de deux Fig. 387 : I® rhomboèdre allongé ou aigu (fig. 387) , et le rhomboèdre
et 388. aplati on obtus (fig. 388). — Dan» le premier (fig. 387), le» face» »ont réunie* trois à trois par nn de leur» angles aigus pour former deux angle» trièdre* opposé» * S, 5' [qui sont égaux entre eux] ; ot chacun de» six autre» angles •
trièdre» est formé de deux angle» obtus et un angle aigu Dans le second
au contraire (fig. 388), deux angle» trièdre» opposé» , S, S', sont formés de trois angles obtus, et les six autres tle deux angles aigus et un obtus. — La droite SS' s’appelle l’axe du rhomboèdre.
La forme cnbiqnc est la limite qui sépare le rhomboèdre aign du rhomboèdre obtus.
Le rhomboèdre a trois plans de symétrie, qui passent par son asc et par deux arête» opposées aboutissant chacune à l’un des deux sommets de cct axe.
§ III. — Du Cylindre.
Fig.38g. N* 489- Nous avons nommé cylindre ( n® 4®4 el fig- 38g) , l’espace limité par une surface cylindrique [ 4 directrice fermée] et par deux plans parallèles. Il est clair d’après cela , que tout cylindre peut être considéré comme un prisme (n° 477) d’un nombre infini de faces latérales dont la largeur est infiniment petite. C’est pourquoi la directrice d’une surface cylindrique prend le nom de base quanti elle est plane.
Lorsque la base est une circonférence de cercle, la surface cylindrique est dite circulaire ; et quand les génératrices sont de plus , perpendiculaires au plan de ce cercle, ta surface cy-r lindrique est dite circulaire droite ; le diamètre du cercle est dit le diamètre de la surface.
Il est facile <lc voir que si Ton prenait une droite pour base d’une surface cylindrique , cette surface sc réduirait à un plan ( n° 3qa ) ; il en serait encore de même si la génératrice ne faisait que sc mouvoir dans le plan de la directrice [supposée plane].
Toutes les arêtes d’une surface cylindrique étant parallèles, il s’ensuit que
l'out plan mené suivant une arête et par un point d'une seconde arête, contient celle-ci tout entière (n° 392).
