SA' SB' 'T A*B

d’où SB"=S'B' | A"B'— A'B', et dièdr^k"W=dièdre A'B'.

Donc les deux tétraèdres SA'B'C* et S'A'B'C' seront égaux (n° 498): donc, etc.

Ll*. I»; CHAP. I. —

N° 566. Théorème IV.

Deux tétraèdres sont semblables lorsqu'ils ont les angles dièdres égaux chacun à chacun et semblablement disposés.

En effet, les angles plans de leurs faces sont tous égaux chacun à chacun (n°4t>0; donc toutes ces faces sont semblables (n° 262) : donc , etc. (n° 56o).

Scolie. — Ce théorème contient une condition de trop : parce que , trois faces étant assemblées , deux angles dièdres suffisent pour déterminer la directipn de la quatrième.

Fig.41^* Scolie sur ces trois théorèmes. —Si la disposition est inverse (fig. 4*6), les tétraèdres, au lieu d'étre semblables, sont inversement semblables.

En effet, si Ton construit un troisième tétraèdre, symétrique de l'un des proposes, il sera semblable au second: donc , etc. (n° 56o).

N* 567. Théorème V.

Deux polyèdres semblables ont — i° les faces homologues semblables 20 et 3° : les angles dièdres et les angles poljèdrcs homologues égaux , chacun à chacun ; — et — 4° tes inclinaisons égales.

En effet: — i° Les faces homologues des deux polyèdres semblables sont , ou des triangles semblables , faces homologues de tétraèdres semblables, ou des assemblages de triangles semblables et disposés de la meme manière ; — et par suite , — Les arêtes homologues sont proportionnelles , et les angles j/lans égaux chacun à chacun .

2° Les angles dièdres homologues des deux polyèdres , sont, ou des angles dièdres homologues de tétraèdres semblables chacun à chacun , ou des sommes d’angles dièdres homologues : ils sont jAr conséquent égaux ;

3° Les angles polyèdres homologues sont aussi des assemblages d’angles trièdres égaux chacuh à chacun et disposes de la incmc manière ;

SIMIL. DANS L’£SP. 4^9

4* Enfin , les inclinaisons des arêtes homologues sur les faces

homologues sont égales chacune à chacune à cause de l'égalité des angles polyèdres homologues ( voyez le n° 4^6 ).

Scolie i*r. — On peut ajouter à la démonstration précédente, que si plusieurs faces des tétraèdres qui composent le premier polyèdre, sont dans un même plan, les faces homologues des tétraèdres qui composent le second polyèdre, sont aussi dans un même plan.

En effet, lorsque deux triangles se réunissent suivant une même diagonale dans l’une des faces de l’un des deux polyèdres, c'est que les angles dièdres [des tétraèdres], qui ont cette diagonale pour arête commune , forment en somme deux angles dièdres droits. Et alors, d’après les hypothèses, la même chose a nécessairement lieu dans le second polyèdre.

Scol. a. — Le» mêmes conséquences onl également lieu pour deux polyèdres inversement semblables, h cela près que les faces homologues sont alors inversement semblables, et que les angles polyèdres sont symétriques aa lieu d'étic égaux; — etc.

N° 568. Théorème VI.

Réciproquement : — Deux polyèdres sont semblables lorsqu’ils ont toutes leurs faces semblables chacune à chacune , semblablement disposées , et comprenant des angles dièdres égaux.

En effet, de l’un des sommets, S (fig. 4°°)> pris sur l’un Fig. des polyèdres , menons toutes les diagonales possibles ; puis , par ces diagonales prises deux à deux , des plans convenables. Le polyèdre se trouvera ainsi décomposé ( n° 5 1 2) en tétraèdres ayant tous pour sommet commun le point S, et pour bases les triangles dans lesquels se décomposent les faces des polyèdres [à l’exception de celles qui se réunissent au point S]. »

Cette décomposition faite, opérons une décomposition toute pareille dans le second polyèdre, en menant des diagonales par le sommet homologue de S, et des plans convenables par ces diagonales. Le second polyèdre se trouvera

440 LIV. IV; Cil AP. I; —

Fig.^oo. ainsi décomposé en autant de tétraèdres que le premier, et disposés de la même manière, chacun à chacun.

Cela posé, les triangles qui servent de base de part et d’autre aux divers couples de tétraèdres , seront semblables chacun à chacun en vertu de l’hypothèse , aussi bien que les couples de triangles latéraux qui se réunissent en S et en S'.

Alors , si l’on considère , par exemple , le tétraèdre qui a pour arête AB dans la première figure, et le tétraèdre correspondant qui a pour arête A'B' dans la seconde figure, ces deux tétraèdres seront d’abord semblables, comme ayant, par suite de l’hypothèse, deux faces semblables chacune à chacune, semblablement disposées , et comprenant un augle dièdre égal (n° 564). De plus, les deux tétraèdres auront toutes leurs autres faces semblables , et les autres angles dièdres égaux chacun à chacun. Si l’on supprime de part et d’autre dans les deux polyèdres, ces deux premiers tétraèdres, les deux polyèdres restons auront encore* comme les deux primitifs, toutes leurs faces semblables, semblablement disposées, et comprenant des angles dièdres égaux , chacun à chacun.

Supprimons de part et d’autre, dans les deux polyèdres restau s, deux nouveaux tétraèdres corrcspondans , et semblables pour des raisons toutes pareilles aux précédentes : les deux nouveaux polyèdres résultans seront encore dans le même cas que les proposés.

Et ainsi de suite (voyez le n° 267^ ■

Donc les deux polyèdres sont semblables (n° 56i).

Scolie i*r. — L’ordre de la décomposition étant arbitrtûre, il s’ensuit que

Dans deux polyèdres semblables , les diagonales homologues sont proportionnelles ;

Et que par conséquent , si on lie quatre à quatre par des droites, de toutes les manières possibles, les sommets de chacun des deux polyèdres, on formera deux séries de tétraèdres homologues, semblables chacun à chacun.