S1MIL. DANS L’ESP

"Plus généralement: — Les lignes homologues de deux polyèdres semblables sont proportionnelles j — leurs sections homologues sont des polygones semblables ; — etc., etc.

Et enfin , les polyèdres qui satisfont aux conditions strictement nécessaires de la similitude , ou à sa déjinilion géométrique (n° 56 1), sont semblables dans toute l’étendue du sens vulgaire de ce mot ( voyez le n° 268).

Sent. a. — Si les faces étaient inrersi-mcnt semblables cl la disposition inverse , les deux polyèdres seraient aussi inversement semblables.

N“ 56g. Remarque sur le nombre des conditions nécessaires à la similitude des figures dans l’espace.

Lorsque le polyèdre est d’une espèce donnée, les conditions de similitude établies dans ce qui précède, se réduisent nécessairement (n°5i4), à un nombre d’autant moindre que celui des lignes qu’exige la détermination de ce polyèdre, est moins considérable. Ainsi, par exemple, en ayant égard au nombre des données nécessaires pour déterminer un prisme (n° 477) ou une pyramide (n° 5oo) , on voit que

Deux prismes, ou deux pyramides , sont semblables lorsqu’ils ont la base et une face semblables chacune à chacune , disposées de la même manière , et comprenant le même angle dièdre, — ou lorsqu'ils ont un angle triedre compris entre trois [de leurs ] faces semblables chacune à chacune et semblablement disposées ; — ou, etc.

Si la disposition est inverse, les prismes ou les pyramides sont inversement semblables.

Lorsqu’il s’agit de — Deux prismes réguliers , ou de deux pyramides régulières, alors , les deux figures proposées sont semblables si elles ont seulement la base et une face, semblables chacune à chacune : — ces deux conditions sont suffisantes.

De plus , les centres de leurs bases sont des points homologues ; les rayons et les apothèmes des mêmes brises, ainsi que les apothèmes des faces latérales s’il s’agit de pyramides , sont des lignes homologues.

LtV. IV; CHAP. I. —

Deux parallélépipèdes sont semblables [ou inversement semblables] lorsqu'ils ont un angle tri'edre formé par des arêtes proportionnelles , semblablement [ou inversement] disposées , et comprenant des angles plans égaux , chacun à chacun.

Tous les cubes sont semblables.

En general, deux polyèdres convexes sont semblables [ou inversement semblables], lorsque leurs faces sont semblables chacune h chacune et disposées semblablement [ou inversement] (voyez le n° 5t3).

Et par conséquent, la réciproque du numéro 568 contient trop de conditions.

Deux polyèdres réguliers de même espèce sont nécessairement semblables ;

Leurs centres sont des points homologues; leurs rayons et leurs apothèmes (n° 527, scol. a) sont des lignes homologues; leurs plans de symétrie sont des sections homologues; . . . etc .

On détermine par les mêmes principes , les conditions de similitude des figures limitées par des surfaces courbes.

Ainsi, par exemple, les cylindres et les cônes circulaires droits étant déterminés par leur base et leur hauteur, il s’ensuit que

Deux cylindres circulaires droits sont semblables lorsque leurs axes sont proportionnels aux rayons de leurs bases, — ou lorsqu’ils sont engendrés par 'des rectangles semblables tournant autour de deux côtés homologues , — etc.;

Et que — Deux cônes circulaires droits sont semblables lorsque leurs axes sont proportionnels aux rayons de leurs bases, — ou lorsqu’ils sont engendrés par des triangles rectangles semblables tournant autour de deux côtés homologues , — ou bien encore lorsque leurs angles au centre sont égaux , — etc., etc. ; —leurs arêtes sont alors proportionnelles à ces memes rayons.

Les hauteurs des cônes semblablestl des cylindres semblables, sont proportionnelles aux rayons des bases (voyez le n° 563, corail, a).

11 faut une condition de plus pour la similitude de deux troncs de cône , parce qu’il s’y trouve une ligne arbitraire de plus : ainsi

SIM1L. DANS l’eSH. 44^

Deux troncs de cônes circulaires droits sont semblables lorsque les rayons de leurs bases et leurs axes [et par suite leurs arêtes ] sont proportionnels , ou, ce qui revient au même, lorsqu’ils sont engendrés (n8 5io) par des trapèzes semblables.

Une sphère étant déterminée par son rayon seul.

Toutes les sphères sont semblables .

Sur une même sphère , denx portions de surface ne peuvent être semblables à moins detre égales; — mais sur des sphères différentes ,

Deux fuseaux ou deux coins sont semblables lorsqu’ils correspondent à des arcs égaux [ou à des angles dièdres égaux] ;

Deux triangles sphériques sont semblables lorsque leurs côtés sont proportionnels entre eux et aux rayons , et disposés de la même manière, — ou, ce qui est la même chose, — lorsqu’ils correspondent à des angles trièdres au centre , égaux entre eux ;

Si la diapotiliou c'ait inverse, on si les angles trièdres étaient symétriques, lis triangles seraient inversement semblables.

Deux calottes sont semblables lorsqu’elles sont engendrées par la révolution de deux arcs semblables tournant chacun autour d’uu rayon qui aboutit à l’une de ses extrémités, ou cequi est la même chose , lorsque leurs hauteurs, les rayons de leurs bases, ceux des sphères , et enfin les arcs générateurs, sont tous , deux à deux , dans un même rapport ;

Deux zones sont semblables quand elles sont les différences de calottes semblables chacune à chacune, parce que cette condition suffit pour que leure lignes homologues soient proportionnelles ;

Deux secteurs sont semblables lorsqu’ils ont pour bases des calottes semblables ; — [les segmens sont semblables dans les mêmes circonstances] ;

Enfin , deux tranches sont semblables quand elles correspondent à des calottes et h des zones semblables.

444 S1MIL. DAMS l’esP.

iS« 570. Autre Remarque. — On pourrait démontrer, mt b similitude des polyèdres , beaucoup d’antres propositions : par exemple , ou pourrait établir des propositions analogues à celles des numéros 570 et 17t. relatives aux centres de similitude internes et externes; nous ne noos y arrêterons pas , et nous terminerons cette théorie en proposant comme exercices U démonstration des théorèmes suivait* :

ThÊosème t. — Dans deux prismes semblables [on inversement semblables], les sections perpendiculaires aux arêtes latérales sont des polygones semblables [ou inversement semblables].

Tiif.os. il Deux pyramides sont semblables [ou inversement sembla-

bles] lorsqu'elles ont les arêtes parallèles chacune à chacune.

Théo*, ni. — Deux polyèdres réguliers de meme espèce [00 de rueme nom] sont semblables , et peuvent se décomposer en un même nombre de pyramides régulières [intégrantes (n* 5x7 , scol. i*r)] semblables.