PRÉLIMINAIRES DE LA GEOMETRIE PLANE

N° 69. D’après ce que nous avons déjà dil au numéro 12 , on nomme Angle [et quelquefois Angle plan], chaque portion indéfinie de plan , comprise entre deux droites , AB , CD (fig. 6), Fig. 6. qui concourent (n° 8) , ou se coupent , en un point O.

Ce point de rencontre 0 est le sommet commun (n° 12) des quatre angles formés par les deux droites AB , CD ; et chacun des segmens indéfinis OA, OB, OC, OD, est un côté commun à deux angles consécutifs : [cette dernière expression s’appliquant aux angles qui ont le même sommet et un même côté].

Un angle se désigne ordinairement par trois lettres, dont deux indiquent des points pris respectivement sur les côtés, et dont la troisième, qui doit toujours être placée entre les deux autres dans l’énoncé , indique le sommet. Ainsi , les angles de la fgure 6 s’énoncent : AOC, COB, BOD, DOA.

Cependant, 011 peut désigner simplement un angle, AOllFig.7. itig. 7), sur tout quand il est isolé, par la seule lettre, O, du sommet , et dire : Vangle O. — On peut encore, même quaud plusieurs^ angles, consécu'ifs , fig. 3o) ou non, ont le même Kis. 3o. sommet, les désigner chacun par une seule lettre : m,n,p ... ou par un numéro d’ordre s 1 , 2,3...

N° 70. Les deux angles AOC et DOB (figr 6), dont chacun Fig. 6. est compris entre les prolongemens des côtés de l'autre, sont dits des angles opposés ; il en est de même des angles AOD et BOC.

Au contraire, deux angles consécutifs qui ont un côté commun et dont les autres côtés sont mutuellement les prolongemens l'un de l’autre , sont dits des angles adjacens : tels sont les angles AOC et COB (fig. 6) , COB et BOD, BOD et DOA, DOA et AOC, pris ainsi deux à deux.

Enfin, l’on nomme bissectrice d’un angle AOB (fig. 3i), la Fig. 3i. droite OC qui partage cet angle en deux angles égaux (n° 3),

AOC, COB.

CÉOMÉTIUE PLANE ;

N° «j i . On conçoit [et nous démontrerons d'ailleurs par la Fig. 3a. suite] que deux droites, telles que AB, CD (fig. 3a), quoique indéfinies , peuvent être situées dans un même plan , de ma nière cependant à ne pas se couper.

Or, on nomme Parallèles , des droites ainsi contenues dans un même plan , et qui ne peuvent se rencontrer, quelque loin qu’on les prolonge.

N° 72. On appelle généralement transversale , toute ligne qui coupe ou qui traverse d’une manière quelconque , une autre ligne, ou un système [assemblage] d’autres lignes.

Fig. 33. Cela posé, lorsque deux droites quelconques, AB, CD (fig. 33) , parallèles ou concourantes , sont rencontrées par une transversale EF , il en résulte, autour des deux points de rencontre, M, N , huit angles qui, considérés isolément ou comparés deux à deux , prennent les dénominations suivantes :

Considérés isolément,

i° Les quatre angles AMF, BMF, CNE, DNE, dont l’ouverture est en dedans des droites AB, CD, se nomment des angles internes ;

a0 Les quatre angles AME, BME, CNF, DNF, dont l’ouverture est en dehors des droites AB, CD, se nomment des angles externes ;

Comparés deux à deux ,

r° Les angles AMF et CNE, BMF et DNE, sont internes étun même côté [de la sécante] ;

20 Les angles AME et CNE, BMF et DNF, sont externes d'un même côté ;

3° Les angles internes AMF et DNE, CNE et BMF [situés, l’un d’un cAté, l'autre de l’autre, de la sécante], sont aller— nes-internes ;

Les angles externes AME et DNF, BME et CNF, sont altemes-ex ternes ;

5° Enfin, les angles AME et CNE, AMF et CNF, BME • et DNE, BMF et DNF, situés ainsi , deux à deux , d’un même côté de la sécante , mais l’un en dedans des deux droites AB, CD, et l’autre en dehors, sont dits, pour cette dernière raison.

PRELIMINAIRES. 5l

des angles intcrne-externe , ou des angles correspondons ; et bien que cette dernière dénomination soit assez impropre, nous l’emploierons de préférence comme plus abrégée.

K® *3. Ou nomme généralement Polygone (fig. 3, 34, P'g- 3 , et 35), un sjst'eme quelconque de lignes qui se coupent. —

Le polygone est dit rectiligne lorsque toutes ces ligues sont droites , ce qui est le cas le plus commun.

Ordinairement, on suppose en outre que les droites sont situées dans un même plan , qu’elles sont déterminées de longueur (u° 5) , et limitées deux à deux par les mêmes points : alors le polygone n’est autre chose qu’une ligne brisée plane (n°’ 6 et 1 4) - — Les segmen* de droites (n® 5) qui composent le polygone sont dits les côtés de ce polygone ; leurs points d’intersection sont dits les sommets y et enfin leurs angles se nomment les angles du polygone. .

Chaque angle formé par deux côtés consécutifs d’un polygone , est dit compris entre ces côtés; et deux angles dont les sommets terminent un même côté, sont dit* adjacent à ce côté.

Uu polygone est dit ouvert, lorsque la première extrémité du premier côté ne coïncide pas avec la dernière extrémité du dernier côté (fig. 3). — Dans le cas contraire , où il circonscrit une portion de plan (fig. 34 et 35), il est dit fermé, et le nombre des angles est alors visiblement le même que celui des côtés.

N° 74. Comme , le plus souvent , c’est d’un polygone fermé qu’il s'agit, on cesse alors de considérer les côtés en euxmêmes, et l’on entend par le mot polygone, une portion de plan circonscrite par un système de droites [ ou plus généralement de lignes quelconques] qui se coupent deux à deux.

On nomme périmètre [ou contour ] du polygone, Y ensemble [ou plus souvent la somme] des côtés , supposés terminés respectivement aux sommets de ce polygone.

11 faut évidemment au moins trois droites pour circonscrire une portion de plan ; d’où il suit qu’un polygone fermé ne peut avoir moins de trois côtés. — Le plus simple des polygone*

5a GÉOMÉTRIE PLANE ; — PRÉLIMINAIRES,

est donc celui de trois côtés, que l’on nomme Triangle [ ou ' trilatère]. — Le polygone le plus simple après le triangle , est celui de quatre côtés, que l’on nomme quadrilatère [et quelquefois quadrangle~\. — [Nous donnerons plus tard les noms particuliers aux autres polygones. ]

Fig. 34. Enfin , l’on nomme diagonales, les droites, AC, AD, BD, BE, CE (fig. 34), qui lient deux à deux les sommets des angles non adjacens à un mèiiic côté. — Un triangle ne peut donc avoir de diagonales.

N° 75. Un polygone est dit équilatéral s’il a tous ses côtés égaux ; il est dit équiangle s’il a tous ses angles égaux. — Un polygone qui est à la fois équilatéral et équiangle se nomme un polygone régulier.

Deux polygones d’un même nombre de côtés sont dits équilatéraux entre eux s’ils ont leurs côtés égaux chacun à chacun et assemblés de la même manière; — ils sont dits équiangles entre eux s’ils ont leurs angles égaux chacun à chacun et disposés dans le même ordre.

Fig. 36. Un polygone ABCD. . . ( fig. 36) est dit inscrit à un cercle lorsque tous ses côtés sont des cordes du cercle ; — et réciproquement le cercle est dit circonscrit au polygone.

Fig. 37. Un polygone ABCD (fig. 3^ ) est dit circonscrit à un

cercle lorsque tous ses côtés sont tangens au cercle ; — et réciproquement le cercle est dit inscrit au polygone.

Un polygone est dit inscriptible ou circonscriptible [ au cercle] , suivant que l’on peut circonscrire ou inscrire un cercle à ce polygone.

Enfin , l’on peut dire aussi qu’un polygone est inscrit à un autre polygone, lorsque les sommets du premier sont situés sur les côtés du second; — et réciproquement, le second est dit circonscrit au premier.