FD= 3. CB

RAPPORTS

Il résulte évidemment des égalités précédentes :

EB= 4-3.GB+ GB = t3.GB CD = I3.GB-+- 3. GB = 16.GB AB= 2.16.GB+ i3. GB = 45. GB.

D’ou il suit que le rapport de AB à CD peut être représenté par la fraction -tg : c’est-à-dire que l’on a la proportion

ab : CD :: 45 : 16.

Scolie i". — Les deux nombres 45 et 16, dont le rapport est celui même des deux droites, sont nécessairement premiers entre eux : car s’ils avaient un facteur commun , 5 par exemple , 5.GB serait contenu un nombre exact de fois dans AB et un nombre exact de fois dans CD; et alors GB ne serait pas la plus grande mesure commune à ces deux droites ; conséquence qui ne peut s’accorder avec la nature de l’opération exécutée ci-dessus. — (Voyez Y Arithmétique.)

Scol. 2. — Il est facile de voir que la marche précédente serait également applicable à deux quantités de même nature quelconque , dont on voudrait trouver la plus grande mesure commune, et par suite le rapport numérique, pourvu que ces quantités fussent comparables par superposition. Nous aurons de fréquentes occasions de rappeler cette remarque et d’en faire usage.

N° 64. Remarques. — Maintenant, dans l’emploi du procédé général que nous venons d’exposer, il peut se présenter deux cas :

Ou bien, après un certain nombre d’opérations partielles, on parvient à un reste qui peut être porté un nombre exact de fois sur le reste précédent, comme il est arrivé dans l’exemple ci-dessus (n° 63). — On dit alors que les deux droites sont commensurables entre elles , pour exprimer que leur rapport est un nombre assignable [nombre que l’on obtient d’ailleurs par des substitutions analogues à celles que nous avons exécutées dans le même exemple].

42 introduction ; —

Ou bien, quelque loin que l'on pousse les operations partielles , il est impossible de trouver un reste qui soit contenu uu nombre exact de fois dans le reste précédent, comme nous en verrons plus tard des exemples. — Dans ce second cas , les deux droites , n'ayant pas de commune mesure assignable , sont dites incommensurables entre elles. — Ne pouvant plus alors , comme dans le premier cas , représenter rigoureusement , par un nombre exact , entier ou fractionnaire , la valeur du rapport des deux droites , on est obligé , pour se figurer ce rapport ou ce nombre incommensurable , de s’en tenir à une approximation qu’il faut tAeber de pousser aussi loin que possible. A cet effet , on néglige un des restes successifs fournis par l’opération , en regardant comme complet le quotient qui lui correspond ; le nombre obtenu en conséquence pour le rapport demandé , sera d’autant plus approché que l’opération aura été poussée plus loin ; et quant à la véritable valeur du rapport lui-même, ce sera la limite vers laquelle tendront continuellement les nombres résultant de cette série d’approximations , supposée indéfinie-

N° 65. Remarquons toutefois que , dans la pratique , le nombre des divisions partielles a toujours nécessairement an terme, soit parce que les restes successifs finissent bientôt par échapper aux sens en raison de leur petitesse, et qu’on est oblige ùc les négliger dès qu’ils sont devenus inappréciables, soit encore par suite de l’imperfection des initrumens que l’on emploie. En effet, comme, il chaque opération, le compas se ferme de plus eu plus, ses deux brandies finissent toujours per te joindre de telle manière qu’il devient physiquement impossible de les rapprocher davantage. La distance qui reste alors entre les dt-ox pointes considérées comme des points mathématiques (n* 4), distance qniest pins ou moins petite suivant le degré de perfection de l'instrument , est bien encore mesurable par la pensée ; mais il n’y a plus moyen de continuer effectivement l’opération, bien que les deux droites proposées puissent être essentiellement incommensurables entre elles.

N° 66. Cela posé , l’on dit qu’i7 y a proportion entre deux quantités homogènes entre elles [ou de même nature], A, B, et deux autres quantités, A’, B', aussi homogènes, ou bien, que quatre quantités , A et B, A' et B', sont proportionnelles ,

— RAPPORTS

quand la recherche du rapport numérique , exécutée sur chaque couple de quantités, conduirait de part et d’autre à la même série de quotiens , en nombre limité ou en nombre illimité.

Observons d’ailleurs [et ceci est bien important] qu’il n’est nullementnécessaireà l’exactitude de cette proportion, c’est-àdire à l’identité des rapports A : B et A' I B', ou des frac- A A' ' .

tions — et =57, que l’ou connaisse actuellement la valeur i> B

commune de ces rapports ou de ces fractions , ni même que cette valeur soit susceptible d’être exprimée exactement; tout se réduit à pouvoir constater que, d’après la nature de la question, les deux conditions suivantes se trouveraient toujours remplies dans la double opération dont nous venons de parler :

i° Que les quotiens qui se correspondent soient constamment égaux deux à deux }

Et — 2° Que r une des divisions successives ne puisse donner de reste sans que sa correspondante donne aussi un reste.

Nous aurons bientôt l’occasion d’appliquer ces principes.

Nous devons cependant encore insister sur ce point : que les proportions établies entre des quantités incommensurables entre elles, jouissent absolument des mêmes propriétés, que si les rapports de ces quantités étaient des nombres commensurables. — [Au reste, la preuve de cette assertion appartenant à Y Arithmétique, nous y renvoyons.]

N» 67. La théorie des fraction» continue» peut être employée avec aeantage pour donner pin» de clarté cl de précision i> ce qui précède (*).

A ret effet, soient désignées généralement par A et B, comme ci-dessus (n°* Go et juin.), les deux droites [ou les deux tpianlités de nature quelconque] dont on veut obtenir le rapport; par 7 le nombre île fois que la plu» petite B peut être portée snr la plus grande A, et par R ta droite restante; par 7' le nombre de fois que R peut être porté snr B , cl par R' le reste correspondant; par 7" le nombre de foi» que R' peut être purté sur R, et par R" le

(’) C’est à M. Ampère que nous sommes redernbles de la méthode snivante. qui a déj!t été exposée en détail dans la Géométrie de M. Nicollet.

reste ; et ain*i de tuile. — D’après cet conventions , on aura les égiiités suivante» :

R = R', fl' ■+• R'... (y)

Or, on déduit de l’égalité (*)

et de l’égalité (/3) :

j = '/ + j-, dou « — bp >

R R ^ ^ -ïï

donc £cn iuhsti tuant dan» la valeur de -g- J ï

IP

fl H- iT

De raérue , l’égalité (y) donne

1P = «' + TP} doh R

donc £en substituant dans la dernière valeur de - J :

= fl -4-

fl' +

fl’+RT

El ainsi de suite.

Donc enfin la valeur de ^ se présente sous la forme d’une fraction continue :

' fl*+...

Maintenant, examinons ce <|uc devient cette fraction contiuuc , dans cita' cuti des deux cas distingués au numéro 64.

RAPPORTS

Ttans le premier rat , la fraction continue est limitée ; et le rapport des deux droites n’est antre chose que la dernière réduite (voyez V Arithmé* tique) qui en provient.

Dans le second, la fraction continue, étant composée d’un nombre illimité de fractions intégrantes , sc prolonge indéfiniment; et alors il faudrait, si cdn était possible , la considérer sous cette forme indéfinie , pour avoir une

véritable expression du rapport cherché. Néanmoins on approche de plus en plus de sa valeur, à mesure que Ton prend un plus grand nombre de fraction* intégrantes , ou qne l’on calcule un plus grand uoiubrc de réduites.

En considérant la chose sous le point de vue précédent , on dira qu’il y a proportion entre les quatre quantités A , B , A', B', lorsque les deux rapports A À'

il’ B'* *°nl ftn*ceP^®* d’étre exprimés par la même fraction continue ,

soit limitée, soit illimitée , et par conséquent de fournir la même série de réduites successives. w

N° 68. Enfin, pour ne négliger aucun moyen d’éclaircir l’importante question qui nous occupe , nous indiquerons encore la méthode suivante que nous empruntons au Traité de Géométrie dèseriptiue de M. Lefébore de Fourct. A la vérité, cette méthode ne conduit pas directement 5 la commune mesure la plus grande, ni par conséquent aux expressions les plus simples du rapport de deux quantités données: [son auteur se proposait un autre but] ; mais en revanche, étant entièrement indépendante de la théorie da plus grand diviseur commun et de celle des fractions continues, elle présente un avantage particulier dans les cas les pins ordinaires, oh l’on cherche bien moins à déterminer, exactement ou approximativement, la valeur du rapport de deux quantités, qu’à pronver l’identité de deux rapports, c’est-à-dire en un mot, k établir l’existence d’nne proportion.

Soient donc , comme dans le numéro 63 , les deux droites AB, CD (fïg. 29), Fig. 09. dont on veut avoir le rapport ; et supposons qu’ayant retranché de la plus grande AB , la plus petite CD , autant de fois que possible (n° 62 , scol. i«r), nous ayons trouvé que la première comprend la seconde un nombre de fois dont nous représenterons ht valeur par a [le nombre a étant le même que nous avons appelé q dans le numéro précédent (n°6^)]; et de plus, qu’il y ait un reste EB [moindre que CD].

Divisons ensuite CD en parties aliquotes égales entre elles ^n° 62, scol. 2) dont chacune soit inférieure [ou égale] à EB (*) : soit a ' le nombre de ces

(*) Ponr mieux concevoir la possibilité d’obtenir un pareil résultat, supposons que l’on cherche le nombre de fois que CD contient EB (n° 62, scol. i*r). Si l’on trouve ainsi ponr quotient un nombre entier exact, EB est la commune mesure; cl le rapport étant alors commensurablc, on peut l’ex primer très aisément. Mais si nu contraire l’opération donne un reste , et que la partie entière du quotient soit, par exemple, le nombre 7 ; dans ce cas

^6 FIN DE l'introdcction.

parti» rontenncs dan» AB avec un reste FB, et b' le nombre rie celles que contient exactement CD.

Divisons encore CD en no nombre [pins grand] de parties égalés, dont chacune soit inferieure [on égalé] i FB ; et soient a" et b“ les nombres de ces parties, contenus respectivement , dans AB avec un reste GB, et dans CD exactement.

Et ainsi de suite.

Cela posé, les longueurs AE, AF, AG.... vont en croissant; et l'on peut en trouver une qui diffère de AB aussi peu que l’on voudra.

Les valeurs des fractions —, jj. . . , <|ui expriment les rapports de ces

longueurs, à la longueur CD , vont donc aussi en croissant et tendent vers une limite ; et cette limite est le rapport même de AB k CD (n° 64).

Le nombre des fractions -, ~ , — - . . . . n’est pas nécessairement indé- 1 b b

fini ; il est limité tontes les fois que l’on arrive k nne partie aliquote de CD , contenue un nombre exact de fois dans AB. Dans ce cas particulier, la dernière fraction représente le rapport cherche', rapport qui est alors commensurablc ; dans tout les cas contraires , ce rapport est incommensurable.

Enfin , quand deux couplet de quantités , A et B , A' et B', conduisent &

la même sériede fractions, ^7, en nombre limité ou en nombre

illimité', on a , entre cet quantités, la proportion

on divise CD en 8 , ou 9 , ou to. . . parties égales (n* 69, tcol. 9) [ au moins une de plus qu’il n’y a d’unités dans le quotient] : et ces parties sc trouvent essentiellement moindres que F.B. — Même raisonnement ponr la soite de la démonstration.

An surplus, il n’est nullement nécessaire de savoir exécuter l'opération qui vient d’étre décrite, mais seulement d’en concevoir la possibilité {voyez la note de la page 34 ).

N. B. — On fera bien de consulter , dès à présent , à la fin du volume, la Note B, dans laquelle nous avons donné une courte exposition du Système métrique usuel. — On pourra voir également , dans la Note A , ce qui est relatif au vemier rectiligne.