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N° 77. Mais maintenant , il est nécessaire de motiver la Flg-38. dénomination de perpendiculaire , appliquée à la droite OC (fig. 38) considérée comine indéfinie dans les deux sens, en Fig. 3g- faisant voir qu’un segment indéfini (n° 5), OC (fig. 3<) ) , d’une droite CD, ne peut être perpendiculaire sur une autre droite AB , sans que le second segment OD de la première droite soit aussi perpendiculaire sur la seconde.

En effet, d’abord la droite AB partage le plan des deux droites(n° i2)en deux moitiés superposables (n° i3) , etensuite les angles AOC , BOC, sontégaux d’après les définitions (n° 76) ; donc chacun de ces deux angles est le quart du plan total. Mais la droite CD partage aussi le plan en deux moitiés superposables ; donc l’angle AOD et par suite l’angle BOD sont aussi chacun un quart du plan total : et par conséquent , les quatre angles formés autour du point 0 comme sommet commun , sont égaux.

Ainsi , non-seulement les segmens indéfinis OC et OD sont perpendiculaires à la droite AB, mais en même temps les segmens indéfinisOAet OB sont aussi perpendiculaires à la droite CD; c’est pourquoi l’on dit alors que les deux droites sont perpendiculaires entre elles, ou plus simplement , qu’elles sont perpendiculaires.

N° 78. Ce qui vient d’ètre dit (n° 77) peut se résumer dans les propositions suivantes :

1® Lorsqu'une droite CD (fig. 3p) est perpendiculaire sur une autre AB, réciproquement aussi la seconde droite AB est perpendiculaire sur la première CD ;

2° Tous les angles droits sont égaux :

Proposition qui ne doit pas s’entendre seulement des angles formés par deux droites perpendiculaires entre elles en un point 0, mais de tous les angles droits possibles, quels que soient leurs sommets respectifs, 0, O'...;

Et enfin — 3° L’un des quatre angles formés par deux droites qui se coupent, ne peut être égal à un angle droit , sans que les trois antres le soient aussi.

PERPENDICULAIRES ; etc. 55

N° 79. Lorsque deux droites, AB, CD 6), se rencon- Fig.6. trent [en un point O] de manière à faire des angles (n° 69 ) inégaux , elle sont dites obliques l’une à l’autre [ou l’une sur l’autre] , ou simplement , obliques entre elles.

Si l’une de ces droites, par exemple AB , est considérée comme indéfinie , et que l'autre soit supposée réduite à un segment OC, c’est cette seconde droite que l’on appelle plus particulièrement F oblique; — et le point de rencontre 0 en est le pied ( voj-ez le n° 76).

N* 80. Lemme. Fig. 4o.

Dans tout triangle [rectiligne] (n° ^4) ABC, un côté quel- Fig- 40. conque est — 1 0 plus petit que la somme des deux autres , — et — 20 plus grand que leur différence.

i° La première partie de l’énoncé résulte immédiatement de ce que la ligne droite est le plus court chemin d’un point à un autre.

2° Quant à la seconde partie, supposons, par exemple,

AC >• BC : il s’agit de prouver que l’on a

or, c’est une conséquence évidente de ce que , d’après la première partie de la proposition, qui est également vraie pour chacun des trois côtés , on a