LIT. I ; CHAP. IV ; § IH

N° 181. ^Théorème XIII. Fig. 54et58.

Fig 54 Lorsque deux circonférences n'ont aucun point commun , la plus ci 5»S. f,ranile et la plus petite droite que l'on puisse mener d’un point de l’une h un point de l’autre, sont toujours, chacune, une portion de laligne des centres.

Fig- 58. Soient, par exemple, Ic« deux circonférence» OA, O'A' ( Gg. 58), dont la seconde est intérieure h la première. Supposons qnc A et B , A' et B', soient les points d’intersection respectifs de la ligne des centres avec chacune • des ilcnx circonférences , de telle sorte qnc les points O', A', A , soient situés dn même cAté de O, et par suite les points O, B', B, du même cAté de O'. Dans cette hypothèse , je dis qnc AA' est le minimum de toutes les droites que l’on peut mener entre les deux circonférences, et que BA' est, au contraire, le maximum des droites qnc l’on peut mener d’un point de l’une k un point de l’autre.

Pour le prouver, faisons voir d’abord qu’une droite CC', terminée de part et d'antre aux deux circonférences, en deux points, C, (?, qui ne sont pas sur la ligne des centres , ne saurait être ni la plus grande, ni la plus petite des droites que l’on peut mener de l’une des courbes A l’autre.

En effet, en menant, par le point C et par le centre (y, la droite CMO'N qui coupe la circonférence O'A' aux deux points Met N, nous anrons (no 178) :

CM < CC' et CN > CC';

d’où il résulte qne CC' n’est ni un maximum , ni un minimum.

Or, il est clair que l’on aura toujours è faire un raisonnement pareil tant que les deux points C et C' ne seront pas sur la ligne des centres ; et le même mode de démonstration est égalemcntapplicable, soit h deux circonférences in- Fig. 54 lérieures (fig. 58), soit lt deux circonférences extéiieures l’une h l’autre (Gg. 5 JJ. et 58. Sentie. — Il ne s’agit plus que jlc comparer les quatre droites AA', AB', BA', et BB'; or, on reconnaît sans difficulté que, dans la figure 58, AA' est la plus petite des quatre, et BA' la pins grande; et que dans la figure 54, c’est AA', portion de la ligne des centres, comprise entre les circonférences , qui est le minimum, c t BB' le maximum, de leurs distances rectilignes.

Dans le cas particulier où les deux circonférences sont concentriques F ‘S- 5g. (fig. 5f>) , le maximum de leurs distances rectilignes est la somme de leurs rayons, et le minimum en est la différence. — Cette pins courte distance des deux circonférences est la largeur de h couronne circulaire (n° ()3) qu’elles comprennent entre elles: elle peut être comptée dans la direction «l’on rayon quelconque, aussi bien que la distance maximum.

Dans tous 1rs cas, la plus petite de toutes les droites que l’on peut mener entre les deux circonférences, est nécessairement un minimum absolu, c’est-à-diie qnc celle plus courte droite est aussi la plus courte de toutes, les ligues quelconques que l’on peut mener entre ccs deux courbes.