TRIANGLES DANS LE CERCLE

Scolie. — Il faut remarquer, conformément au résultat precedent, que I'ig. i35 la plu» longue tle deux droite* quelconques est mile dont l’cxtre'raite est la ct *3®plus rapprochée du point A auquel aboutit la msiancc maximum, tandis que la plus courte de* deux est celle dont l'extrémitc est la plus rapprochée du point B auquel correspond la distance minimum.

De pins, chacune des droite* IC, ID, coupa la circonférence en un second point, e , d\ et il est facile de voir qu’il la plus looguc des deux distances IC, ID, correspond la plus petite des distances opposées le ou Id. —

Si le point I est intérieur au cercle, la même droite donnera deux distances égales lorsqu’elle sera perpendiculaire au diamètre; ct si le point I est ixié- rieur, les deux distances seront égales lorsque la droite, de sécante qu'elle était, deviendra tangente ( n° ai ). — D’où il suit encore, que

Deux tangentes issues d'un même point, sont égales (*oyci le n° t5a, scol. ).

Les réciproques du théorème précédent sont évidentes (no 5i).

N° 180. Théorème XII. Fig. 157.

La plus courte distance d’une circonférence OA à une droite ex - i ig. 137. terieure CI est la portion AP de’ la perpendiculaire abaissée du centre sur la droite , comprise entre les deux lignes proposées.

En effet, [comme il ne s'agit évidemment que de comparer des distances rectilignes (n° 5)], soit CD la droite monde d’un point quelconque C de la circonférence OA h un point quelconque D de la droite GI* Je dis que la distance CD ne sera pas la plus courte entre les denx lignes proposées 4 elle ne *atisfait aux denx conditions suivantes:

10 Sa direction doit passer par Je centre O ; sans quoi , menons la droite DMO, coupant la circonférence au point M : ct nous aurons DM<DC (n° 178) ;

x° Elle doit être perpendiculaire h GI; sans quoi , abaissons sur GI la perpendiculaire CQ : et nons aurons CQ< CD (no 83).

Donc, si l’on suppose ^baissée b perpendiculaire OP du centre O sur la droite Gl, que l’on nomme P le pied de cette perpendiculaire, ct A, B, ses points d’intersection avcc*la circonférence, la plus petite AP, des distances AP, BP, sera évidemment la distance minimum des deux lignes proposées.

Scolie. — Quant .S la distance BP, elle est le maximum des distances rectilignes perpendiculaires des divers points de la circonférence OA à U droite Gl.