LIT. 1} CHAP. IV J ^ I

N* 1 88. Problème VI.

Circonscrire une circonférence à un triangle donné.

Ce problème n’est autre que celui dont nous avons indiqué la construction au numéro ioa(3“). — Et d’après les numéros g3 et 166, quelles que soient celles des trois perpendiculaires que l’on emploie dans la construction , la cir— conférence obtenue sera la même.

On peut énoncer le problème plus généralement, en proposaut de faire passer une circonférence par trois points donnés; alors le problème devient impossible quand les trois points sont en ligne droite (voyez les n°’ 87; 8a, i° ; et 102, 3°) ; et ce cas d’impossibilité est d’ailleurs le seul ( n° 1 43 , scol.).

N° 189. Problème VII. *

Inscrire une Circonférence à un triangle donné.

Le centre du cercle cherché se trouve à l’intersection des droites qui partagent les angles du triangle en deux parties égales ; et le rayon est la distance de ce point aux trois côtés (voyez les ti° 167, coroll. 1** et a*).

Au lieu de la dernière question , 011 peut proposer, plus généralement, de

Décrire une circonférence qui touche trois droites données

Et alors il y a quàtre solutions quand les trois droites données forment un triangle, et qu’on les suppose indéfiniment prolongées : car, outre lé cercle inscrit intérieurement au triangle, on doit obtenir encore le* trois cercles ex-inscrits ( n° 167, scoL). — Le nombre des solutions se réduit A deux lorsque, des trois droites proposées, deux sont parallèles ( voyez le n° >3i, scolie, 20; et 148, récipr.). — Enfin, le problème serait évidemment impossible si les droites étaient toutes trois parallèles entre elles.

PR ORL. SLR LES TRIANGLES.

N° 190. Problème VIII. Fig. 14 1.

Par F extrémité A d’un segment de droite AB qui ne peut être Fig. 141. prolongé, élever une perpendiculaire à celle droite ,

Analyse. — Soit AC la perpendiculaire cherchée. — E11 liant, par une droite, un point quelconque B de AB avec un point quelconque C de AC, on formera un triangle rectangle CAB dans lequel le milieu D de l’hypoténuse sera également distant des trois sommets A, B, C ( n° i65); et par conséquent la circonférence décrite du point D comme centre avec le rayon DA, passera par ces trois sommets.

a* Conitruction (voyez la tr' au n° tag, scol. 2). — 1* D’un point quelconque D pris hors de la droite AB, comme centre , et du rayon DA, décrivons un arc de cercle qui coupe la droite AB en un second point B. — 1° Menons la droite BD qui coupe cet arc en un second point C. — 3° Menons la droite AC.

1 lirnf;»,

Celte droite est la perpendiculaire cherchée.

En effet, etc {Voyez le n* t65, récipr.).

Scolie. — En renversant celte construction , on en tire encore un autre moyen de résoudre le problème du numéro 1 00. — Ainsi , pour abaisser du point C une perpendiculaire sur AB, on pourra prendre d’abord une longueur arbitraire [qui toutefois doit être, à vue d'œil , plus grande que la moitié de la perpendiculaire cherchée] ; puis , après avoir doublé cette longueur, on marquera, au moyen du compas, sur la droite AB, un point B dont la distance au point C soit égale à la double longueur obtenue. On aura facilement le milieu D de cette droite, puisque sa moitié n’est autre que la droite arbitraire. Alors, du point D comme centre, et du rayon DC [ = DB], on décrira une demi-circonférence qui coupera la droite donnée en un second point A : ce point sera le pied de la perpendiculaire cherchée.