LIV. I; CHAP. V; § IV

§ IV. — Du Losange.

Fig. 147. N° 202. On nomme Losange ou Rhombe'C''), un quadrila— tire , MNOP ( fig. >47 )> dont tous les côtés sont égaux entre eux. — Il est facile de voir qu’une pareille figure peut exister ; et d’après le numéro 197, ce‘ n’est encore qu’une variété du parallélogramme don telle partage les propriétés [mais non pas réciproquement].

Deux losanges sont égaux lorsqu’ils ont un côté égal et un angle égal.

N° ao3. Théorème VIII. Fig 1 47 -

Les diagonales d'un /ruante MNOP se coupent à angle droit.

Eu effet : dans les deux triangles MIO, MIN , on a (n° 199 ) MO=MN, 10= IN,

et de plus MI est commun ; donc les deux triangles sont égaux (n° 169) ; donc l'auglc MIO = MIN : donc , etc.

Réciproquement : — Si les diagonales d’un quadrilatère se coupent eu parties égaleset à angle droit , la figure est un losange.

En effet : chaque diagonale partage alors le quadrilatère en deux triangles isocèles {voyez le n° 164, récipr. 4‘).

Scolie. — Les diagonales d’un losange le décomposent en quatre triangles rectangles égaux entre eux, ayant tous le sommet de leur angle droit au centre du losange.

En effet : chaque diagonale du losange le* partage en deux triangles isocèles dont elle est la base commune, et se trouve elle-même partagée en deux parties égales (n° 199) par l'autre

(#) De celte expression dérive celle de rhomboïde que l’on emploie quelquefois pour designer le parallélogramme : — *Po/*Coc .. o irlrLtuptr Tt'rpstm . fO^CoinAç «Tl irirxtt/p ©t... ir* opBoytiftot :

— Le rhombe eil celui [des quadrilatères] qui a tous ses c6tcs égaux ; tu rhomboïde n’a ni ^touâ] ses cotes égaux ni scs angles droits — (Euclide, Livic J , dcfin.\ 3*j ci 33).

LOSANGE. CAUSÉ. TRAPÈZE. |5<j

diagonale, qui lui est ainsi perpendiculaire; et de là résulte lïg. 147. la proposition énoncée {voyez le n° 164.)

Scol. 2. — Tout losange est circonscriptible à un cercle décrit du même centre ( 110 199, scol. 3), sur un diamètre égal à la distance des côtés opposés.

Scol. 3. — Un losange a deux axes de symétrie qui ne sont autres que ses deux diagonales.

§ V. — Du Carré.

N° 204. On nomme Carré , un quadrilatère (fig. 148) dont Fig. «48.

tous les côtés sont égaux et les angles droits. Le carré est

donc un quadrilatère régulier (n° ^5), dont la possibilité est suffisamment prouvée par tout ce qui précède.

Ainsi , d’après sa définition, le carré doit jouir à la fois, des propriétés du parallélogramme en général , et en particulier de celles du rectangle et de celles du losange.

Il s’ensuit que les diagonales du carré sont égales (n° 201); qu’elles se coupent en parties égales (n° 19g) et à angle droit (n# 2o3) ; et enfin quelles décomposent la figure en quatre triangles rectangles isocèles égaux entre eux {scolies des mêmes n0'); — et réciproquement, un quadrilatère qui possède toutes ces propriétés , est nécessairement un carré.

Le carré est inscriptible et circonscriptible ; — ses deux diagonales sont deux diamètres du cercle circonscrit , et les droites qui joignent deux à deux les milieux des côtés opposés sont deux diamètres du cercle inscrit. — Ces quatre diamètres forment autant d’axes de symétrie de la figure, qui 11e peut en avoir d’autres.

lieux carrés sont égaux lorsqu’ils ont un côté égal.

§ Vf. — Du Trapèze.

Nu 2o5. Le Trapèze (*; est un quadrilatère, MNOP (Üg. , 49)> p. f dont deux côtés seulement, MN , OP , sont parallèles, les deux * '

(*) De table.

l58 uv. I; CHAI*. V; ^ VI.

Fig. 1^9. autres allant concourir en un point K situe hors du quadrilatère.— Les deux côtes parallèles se nomment les bases du trapèze; le plus grand des deux, OP, est dit la grande base , et l’autre MN , est dit la petite base y les côtes restans sont les côtés latéraux ; et la perpendiculaire AB commune aux deux bases est la hauteur du trapèze. Il est facile de voir que les angles adjaceus à la grande base forment toujours une somme moindre que 2 droits ; et vice versit pour la petite base ; et que les angles adjaceus à un même côté latéral sont supplémentaires (n° 140).

Le trapèze est dit rectangle lorsque l’un des côtés latéraux est perpendiculaire aux bases. — Il est isocèle lorsque les deux côtés latéraux sont égaux entre eux ; et alors, la droite qui joint les milieux des bases, leur est perpendiculaire; de plus, cette droite étant alors un axe de symétrie, lé trapèze est encore dit symétrique en raison de cette circonstance. On reconnaît sans peine que les perpendiculaires élevées sur les milieux des côtés latéraux , concourent en un point de l'axe ; d’où il résulte que

Le trapèze symétrique est inscriptible ( n* ^5 ).

Chaque diagonale , MP ou NO (fig. 149)* d’un trapèze, le décompose en deux triangles dont chacun a pour base l’une de ses bases, et même hauteur que lui. — On peut encore considérer la même figure , non plus comme la somme , mais comme la différence de deux triangles, MNK, OPR, dont chacun aurait pour base l'une des bases du trapèze, et dont le sommet commun serait le point de concours des côtés latéraux.

Si ce pointée concourt ilcscdict l.rlcranxtVloignait indefini nient fn° 1 jï), le trapèze dégénérerait en parallélogramme. Cette dernière Sorte de figure pent donc être, à juste titre , considérée comme cas particulier ou comme limite du trapèze; d’où il résulte que les propiictés do trapè/.c existent également, avec quelques modifications particulières, dans le parallélogramme [mais non réciproquement]. Cependant, nous avons cru devoir étudier le parallélogramme avant de parler du trapèze» parce que ln marche inverse eiit occasion®' quelques longueurs.

TRAPÈZE. — QUADR . INSCRIPT.

N° aoü. Théorème IX. Fig. i5o.

Dans tout trapèze MNOP, la droite CB qui joint les milieux , Fig.iSo. C , D, des côtés latéraux , MO, NP , est — t° parallèle aux bases, — a° également distante de chacune d’ elles, — cl— 3° égale à leur demi-somme.

Par le point C, milieu de MO, menous AB parallèle à NP.

Il en résultera [si l’on prolonge MN ] deux triangles MCA ,

OCB , égaux entre eux (n° 172)* comme ayant un côté égal MC — OC , et les angles adjacens égaux chacun à chacun ; d’où CA = CB.

Maintenant, dans le parallélogramme AP , les points C , D, étant les milieux des deux côtés AB, NP, il s’ensuit que la droite CD est égale et parallèle aux deux autres côtés,

AN, BP (n° 198, coéoll), et déplus, qu’elle en est également distante.

Enfin , de ce que CD = AN = BP , on conclut .

CD = i(AN-f-BP)= HAM+ MN -f OP — OB) ; et puisque AM = OB , il s’ensuit

CD = | (MN-f-OP).

Scolie . — Si le trapèze dégénérait en parallélogramme {n0 ao5), on aurait MN s= OP; d’où CD = MN = OP [voyez le n° 198, coroll.).

• § VII. — Du Quadrilatère Inscriptible.

N° 207. Théorème X. Fig. i5i.

Dans tout quadrilatère inscriptible ABCD , la tomate des angles np- t'ig. i5i, posés , pris deux à deux , est égale a a droits.

En effet, les arcs qui correspondent respectivement h deux angles inscrits opposés , c'est-à-dire, les arcs compris respectivement entre les côtés de deux angles opposés du quadrilatère, forment en somme la circonférence entière. Or etiaque angle inscrit étant moitié de l'angle an centre qui corrct-

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Fig. t5i. pond an même arc (n° i5i) , il s'ensuit que ces angles opposes , s’il* a*aicnl leur sommet au centre du cercle , correspondraient h des arcs dont la somme formerait une demi-circonférence : donc ces angles sont supplémentaires.

Sentie. Nous avons déjà fait implicitement usage de cc théorème pour

démontrer celui du numéro i5x

N* 208. Théorème XI. Fig. i52.

Fie. i5a. Récimoqoement : — Un quadrilatère est inscriptible lorsque tes an* ' gle, opposés y forment , deux à deux , une somme égale à a droits.

’ En effet, soit ABCD un quadrilatère dans lequel on suppose t A + C = B + D = n droits.

Par trois des sommets, A, B, C , faisons passer une circonférence (n° 16G, corail. l«r;; et supposons que le point D lui soit, par exemple, intérieur. Cela posé, prolongeons AD [ou CD] jusqu’il la rencontre de là circonférence, en iy, et menons CD' : nous aurons, en vertu du théorème direct (no 307):

ABC -+■ AD'C = 3 droits ; mais nous avons dtj.’i , par hypothèse,

ABC ADC = 3 droits;

d'où il résulterait

ADC = AD'C ; Ce qui est absurde (n° 1 itr).

Même raisonnement si le point D' était extérieur è la circonférence. Donc le quadrilatère AC est inscriptible.

§ VIII. — Du Quadrilatère Circonscriptible. pjo 209. Théorème XII. Fig. i53.

Fig. i53.

Dans tout quadrilatère circonscriptible GIKL, les côtés opposes , pris deux à deux, forment des sommes égales.

En effet, dans tout angle circonscrit (n« l5o),les côtés [ compris elftre le sommet et les points de tangence respectifs], riant égaux (n» 1S3, scol.), il en lésultc ces égalités t

f Ai = IB GA = DG;

1* KC= BK CL s= LD.

Or la somme des premiers membres n’est autre chose qnc la somme de denx côtés opposés, GI-I- KL, et de même, la somme des seconds membres se • c réduit i 1K -+■ LG , somme des denx autres côtés : donc , etc.