en parties de grandeurs données

73. Diviser de même un trapèze par des droites ayant des directions données quel* conques*

74. Mener par un sommet d'un quadrilatère une droite qui divise sa surrace, en parties équivalentes ou en parties proporliounelles à des lignes ou à des nombres donnés, ou en moyenne et extrême raison.

. - Tliéorèine.

4-21 8. Uaire d'un polygone régulier est égale au produit de son périmètre par la moitié de son apothème.

Soit par ex. l'hexagone régulier ABCDEF; je joins le centre aux sommets A et B, et j'abaisse 01 perpendiculaire à AB ; la

surface du polygone se compose de six triangles égaux k AOB;

t^ — >^^^ op AOB == AB X 5 01 ; donc Taire du poly-

^ gone est égale à 6 AB x r 01; ce qui est précisément le périmètre^ (6AB), multiplié par la ^ moitié de l'apothème. « /-^ . ' ^ '♦ * ^ ':■■■■■: Ex. : Trouver la surface d'un hexagone régulier inscrit dans

un cercle dont le rayon R = 5 mètres.

S=3ABX0L

On sait que AB = R = 5. Pour connaître 01^ on remarque que le triangle OIA étant rectangle^

ôi'

Donc S = ;on évalue v'^S approximativement.

Tlicorèinc.

219. L'aire d'un cercle est égale à la circonférence multipliée par la moitié du rayon.

Inscrivons un polygone régulier dans le cercle ; soient S Taire de ce polygone, p son périmètre et a son apothème. Nous venons

de voir que S = p X r a. (1)

Supposons qu'on double indéfiniment le nombre des côtés de ce polygone; à mesure que le nombre des côtés augmente, le périmètre diflfère de moins en moins de la circonférence, Tapothème du rayon, et Taire du polygone de Taire du cercle (n* 177).

La circonférence est évidemment la limite vers laquelle tend le périmètre d'un polygone régulier dont on double indéfiniment le nombre des côtés {a" 177). Le cercle est la limite de Taire du même polygone j et le rayon est la limite de son apothème.

UYRE IT. 153

Comme l'égalité (1] est vraie, quel que soit le nombre des côtés du fX)lygone, elle s'applique encore quand on arrive à la limite ; malsalors S devenant cercle R^ p devenant cire. R, et a égal à R, oa 9;

cercle R = cire. JR X -r- . (4 )

-1. '*RraiARQUE. Cire. R = SuR ; donc cercle R = StcR x -^ = «R*.

JT^our obtenir Vaire d'un cercle de rayon donnée il suffit de muliif^Zier le carré du rayon par le rapport constant tc de la circonfére^^^e au diamètre.

GoROLLAiRB. Lcs ùives de deux cercles sont entre elles comme les cct^^Tés de leur rayon.

Eneffet, cercle R=«R2: cercle R'=7tR'2. ,

-, cercle R tiR^ R* ^ ^ „ ^

Do»c r"^ = -H7. = D7,- C.Q.F.D.

cercle R' tcR'^ R^

PROBLfaiB. Trouver le cercle connaissant la circonférence.

in «• ^^R* /circ.RV /cire. R\« 1

cercleR=.R*= — =^-^) : .= {-^) X;.

SSO. L'aire d'un secteur est égale à la longueur de son arc mulii» pfzée par la moitié du rayon.

Pour le démontrer, je divise Tare AE en un certain nombre de Q parties égales, quatre par ex. ; je mène les cordes

des arcs partiels, et je joins les points de division au centre; j'obtiens ainsi quatre triangles isocèles. £ L'aire de chaque triangle est égale à sa base multipliée par la moitié de l'apothème 01 ; la somme des aires de tous les triangles, c'est-à-dire Taire du secteur poly*

gonal est égale àUBx^OI^périm.ABGDEx^OI. (1)

On peut doubler indéfiniment le nombre des côtés de la ligne

' r • fc-

inscrite; régulité(i) est toujours vraie^ quelque grand que soit le nombre des côtés. A la limite^ Tare ÂE pouvant être considM comme une ligne polygonale d'un très-grand nombre de côtés infiniment petits, le secteur OAE peut être considéré comme un secteur polygonal ayant l'arc AE pour base et le rayon pour apothème. L'aire du secteur est donc égale à la longueur de son arc multipliée par la moitié du rayon. C. Q. F. D.