LIVRE V

déterminent un plan DGF (le plan MN) perpendiculaire à AB (n* 232). Toutes les autres perpendiculaires sont dans ce plan; CE, par ex. En effet, le plan ABE (de AB et de CE), rencontre le plan MN suivant une droite passant au point C et nécessairement perpendiculaire à AB (définition n*" 231). Cette intersection n'est autre que CE qui est la seule perpendiculaire que l'on puisse mener ^ AB au point C dans le point ABE. CE est donc dans le plan MN.

234. Corollaire. On peut toujours par un point donné mener un plan perpendiculaire à une droite donnée, AB, et on ne peut en mener qu^un,

1* Le point donné C est sur la droite donnée. On fait passer par AB deux plans quelconques ABD, ABfJ, et on mène dans chacun une perpendiculaire à AB au point C (n° 233). Le plan DGF des deux perpendiculaires CD, CF est le plan demandé.

On n'en peut mener qu'un. En efiFet, si un plan est perpendicur laire à AB au i)oint C, toutes les lignes de ce plan qui passent au point G sont des perpendiculaires à AB. Ce plan n'est donc autre que le plan unique qui contient toutes les perpendiculaires me* nées à AB par le point C (n» 233 bis).

2* Le point donné E est situé hors de la droite donnée AB. Menons

dans le plan EAB la perpendiculaire EC sur AB; puis, dans un second plan quelconque passant par AB, une autre perpendiculaire CD à cette ligne. Le plan EGD (MP) de EG et de DG est perpendiculaire à AB et passe par le point E.

C'est le seul plan qui puisse remplir à la fois ces deux conditions. En effet, un [)lan perpendiculaire à AB, passant par E contient une perpendiculaire menée de E sur AB (la droite qui joint le point E au point de rencontre de AB et de ce plan); or EC est la seule perpendiculaire qu'on puisse mener du point E sur AB. Tout plan perpendiculaire à AB, passant par le point E, contient donc EG et passe par le point C. Or nous venons de voir que par un point G de AB, on ne peut mener qu'un plan perpendiculaire à cette droite.

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COURS DE GÉOMÉTEIE.

THËORtlS,

9S&. Par un point donné on peut toiQours mener une perpendicU' laire à un plan^ et on n'en peut qu'une (qo 236).

Premier GâS. Le point donné B est sur le plan MN (6g. 1). Je mène sur le plaQ MN une droite CD, du point B une pcrpeadioulaire BC sur

CD, au point C dans un autre plan quelconque une perpendiculaire CA à CD, et enfin au point B une perpendiculaire BA à BC dans le plan BCA ;

BA est perpendiculaire au plan MN.

Pour le démontrer, je prolonge AB d'une longueur égale BA', et je mène AD, A'D, A'Crlb obliques CA, CA' à A A' sont égales (42). CD perpendiculaires aux droites CB, CA est perpendiculaire au plan ACB (232) et par suite à CA' (231). Les deux triangles ACD, A'CD rectangles en C sont égaux; car AC = A'C et CD est commun; donc AD = A'D et DB est perpendiculaire à AB'A' (36). AB, perpendiculaire à BC et àlU), est perpendiculaire au plan MN (232). C. Q. F. D.

DliL'XiÈME CAS. Le point donné A est hors du plan MN, Je mène sur MN une droite CD, de A une perpendiculaire AC sur CD, de G une perpendiculaire BC à CD dans le plan MN, et enfin du point A une perpendiculaire AB sur CB. AB est perpendiculaire au plan MN. On le démontre comme dans le premier cas.

S;30. Far un point donné on ne peut mener qu'une perpendiculaire à un plan.

Premier cas. Le point donné B est sur le plan MN (fig. 2). Supposons qu'on puisse mener au point B deux perpendiculaires BA, BË au plan MN. Le plan ABË coupe le plan MN suivant une droite C'BC à laquelle *B.\ et BE seraient toutes deux perpeudicuiaîres (231). 11 y aurait donc dans le même plan ABEG deux pcrj)cudiculaircs à la mémo droite C'BC; ce qui est impossible (12)

UVBE V. 169

2* Le point donné A. est hors du plan MN. Soit AC une perpendiculaire à ce plan; menons une autre droite quelconque AB, et tirons BG. AG étant perpendiculaire à BG (231)^ AB est oblique à cette même ligne BC, puisque» dans le même triangle ABG, il ne saurait y avoir deux angles droits. AB oblique à BC^ est oblique au plan MN. AC est donc la seule perpendiculaire qu'on puisse mener du point A sur ce plan.

Tltéorèmc.

257. Si du même point A on mène à un plan MN une perpendi^ enlcire AB, et différentes obliques AG, AD, AE :

1* La perpendiculaire est plus courte que toute oblique;

2* Deux obliques AC, AD, qui s*écartent également du pied de la perpendiculaire sont égales f

3* De deux obliques AE, AC, qui s^écartent inégalement, celle qui sV- ■^ carte le plus est la plus longue,

i* On a AB < AC; en effet, dans le plan ABC, la perpendiculaire AB est plus courte qu'une oblique quelconque AC (livre 1, n* 42),

La plus courte distance d'un point à un plan est donc la perpendiculaire abaissée de ce point sur le plan.

2* Si la distance BD = BG, l'oblique AC = AD.

En effet, les deux triangles rectangles ABG, ABD, ayant le côté AB commun, et BC=BD par hypothèse, sont égaux; de là ré* suite AC = AD.

3« Si l'on a BE > BG, Toblique AE est plus grande que AG. En effet, on peut sur BE prendre une longueur BD = BG et tirer AD; l'oblique AD = AG. Mais dans le pian ABDE, Toblique AE est plus longue que AD (livre 1, n» 42); donc AE > AG.

238. Les réciproques des thcorèiues précédents sont toutes vraies.

1* Deux obliques égales s'écartent également de la perpendiculaire.

2* De deux obliques inègaleSy la plus longue $*icarte le plus du pied de la perpendiculaire.

Même déinonstralion que dans le 1*' livre, n* 43.

239. Remarque. Les pieds C, D, E, de toutes les obliques égales^ menées d'un point A à un point MN, sont situées sur une circonférence de cercle, ayant pour centre le pied de la perpendiculaire menée du point A sur ce plan. On déduit de là un moyen mécanique de mener une perpendiculaire d*un point donné extérieur sur un plan donné : on mène du point A au plan MN au moins trois obliques égales entre elles; on fait passer une circonférence par les pieds de ces obliques sur le plan MN; la ligne qui joint le point A au centre de cette circonférence est la perpendiculaire demandée.

240. Corollaire. Le lieu des points de l'espace, également distants de deux points donnés A et B, est le plan perpendiculaire au milieu de la droite AB qui joint ces deux points (faites la figure).

En effets soit M un de ces points ; joignons-le au milieu G de AB; la ligure ABGM est dans un plan^ et la droite CM est dans le plan perpendiculaire au milieu de AB [n" 45). Or toutes les perpendiculaires à AB au point G se trouvent dans le plan perpendiculaire à cette ligne en ce point.

Tliéorèmc. * ^ • ■ "^ ' ^"^ >^ ^"^^ ^^' '^ '

241. Une droite AB étant perpendiculaire à un plan MN, si du pied B de cette ligne on mène une perpendiculaire BD à une ligne CE du plan MN, puis qu^on joigne un point quelconque A de AB au point D, la ligne AD ainsi menée est perpendiculaire à CE. Pour le démontrer, je prends sur EG, à partir de D, deux longueurs égales DC, DE ; puis je mène BE, BG, AE, AG. DE étant égale à DC, les obliques BE, BG sont égales comme s'écartant également du pied de la perpendiculaire BD. BE étant égale à BC, les deux obliques AE, AG, au plan MN, sont éga'es comme s'écartant également du pied de la perpendiculaire

UVBE V. 171

AB. La ligDe AD qui va du sommet du triangle isocèle ACE au milieu de la base CE est perpendiculaire à cette base (n* 36). C. Q. F. D-

Ce théorème est connu sous le nom de théorème des trois pet' peridiculaires (AB, BD, AD). ^

EXERCICES

Théorèmes à démontrer,

4. Une droite ègalcmeoi ioclinée sur troif droites qui passent par son pied dans as plan est perpendiculaire à ce plan.

2. Toutes les perpendiculaires abaissées du même point for des plans qui pa^s* nt tous par la même droite sont dans un même plan.

3. Si un angle BAC tourne autour do son côté AB, chaque point de AC décrit une circonr>:rence de cercle.