DES PERPENDICULAIRES ET DES OBLIQUES A UN PLAN

251 • Définition. Une droite est perpendiculaire à un plan quand elle est perpendiculaire à toutes les droites qui passent par son pied dans le plan ; réciproquement le plan est perpendiculaire à la droite.

Le pied d'une perpendiculaire est le point où elle rencontre le plan.

Tltéorèmc.

232. Si une droite AB est perpendiculaire à deux autres droites BC, BD, qui passent par son pied dans un plan MN, elle est perpendiculaire à ce plan.

Le théorème sera démontré si nous prouvons que AB est perpendiculaire à toute autre droite BE, menée par son pied dans le plan MN. Pour cela, menons dans ce plan une droite CED qui conpo

toQrnant autour de AB; dans ce mouvement, il passe successivement par toua les points de l'espace.

Pour représenter les plans dans les figures^ nous sommes obligés de leur donner des iimilei; il faut eu général les considérer comme illimités.

les trois lignes BG^ BD, BE; prolongeons AB d'une longueur

BA'=BA, puis liions AC, AE, AB, A'C, A'E, AD. Dans le plan ACA', les deux lignes C\, G A sont deux obliques à la droite ABA' s'éloignant également du pied delà perpendiculaire GB; donc G V=GA'; on a de même, dans le plan ADA, Toblique DA=DA'. Les deux triangles ACD, A'CD^ qui ont déjà un côté commun GD, ont donc les trois côtés égaux. Nous pouvons les faire coïncider en faisant tourner A'GD, autour de GD comme charnière, pour le rabattre sur AGD. Gela fait, le point E n'ayant pas bougé, et A' étant venu en A, EA' coïncide avec EA; EA' étant égale à EA, le triangle AEA' est isocèle et la ligne EB qui va du sommet au milieu de la base, AA', est perpendiculaire à cette base (n" 36). Réciproquement ABA' est perpendiculaire à BE; donc elle est perpendiculaire au plan MN. G. Q. F. D.

Remarque. Nous venons de considérer dans cette démonstration phisieurs perpendiculaires menées à la même droite AB, par le même point B de cette droite; ce qui semble en contradiction avec ce que nous avons vu dans le 1" livre (n" i2); c'est que nos constructions n'ont pas lieu sur le même plan exclusivement, mais dans l'espace (V. le théorème suivant).

Tliéorème,

235. Dans Vespace on peut mener une infinité de perpendiculaires à une même droite Ah par le même point G de cette ligne.

En effet, on peut faire passer par la droite AB une infinité de plans tels que ABF, ABE, ABD...., et mener dans ( hacun de ces plans une perpendiculaire à AB au point G; par ex. : GD dans le plan ABD, GE dans le plan ABE, etc.

2ô5 bis. Toutes les perpendiculaires menées à la même droite AB par le même point G de cette droite sont dans un même plan.

Deux quelconques de ces perpendiculaires, GD, GF, par exemple^