Quel est le lieu géométrique des points d'un plan

— également distants d'un point donné hors de ce plan ?

9. •— tels que la somme des carrés de leurs distances à deux points donnés liors de ce plan soit égale à un carré donné ?

40. — tels que la différence des carrés de leurs distances à deux points donnés hors de ce plan soit constante.

DROITES PARALLÈLES DANS l'eSPACE.

Tliéorème.

242. Par un point C, donné dans l'espace, on peut toujours mener une parallèle à une droite donnée AB, mais on n*en peut mener qu'une.

Eu effet, une parallèle quelconque CD à la droite AB, menée par le point C^ devant être dans un même plan avec AB, est né*

cessairement dans le plan GAB déterminé par le point C et par AB.

Or, dans ce plan GAB, on peut effectivemeut mener une parallèle à AB par le point C, mais on n'en peut mener qu'une (1" livre, n*'5l et 52).

Tliéorèmc*

243. Si deux droites AB, DE, sont parallèles^ tout plan (MN) perpendiculaire à l'une (AB) est perpendiculaire à l'autre. Le plan .\BCD des deux parallèles coupe le plan MN suivant

une droite BC ; la ligne AB (perpendiculaire au plan MN)» étant perpendiculaire à BG, sa parallèle GD est aussi perpendiculaire à cette ligne [livre I^ n*'55); il suffit donc de prouver que GD est perpendiculaire à une se- ^ coude droite menée par son pied C dans le plan MN. Pour cela, je mène dans ce plan une perpendiculaire lË à BG9 et je trace AG. En vertu du théorème des trois perpendiculaires (n* 241), la ligne AG est perpendiculaire à lE; lE étant perpendiculaire à deux droites CB» GA^ qui passent par son pied dans le plan ABCD, est perpendiculaire à ce plan^ et par suite à la ligne GD qui y est située. Réciproquement GD est perpendiculaire à lE; comme elle Test déjà à GB, elle est perpendiculaire au plan MN. G. Q. F. D.

2i4. Deux droites AB, GD perpendiculaires au même plan MN, sont parallèles entre elles.

En ciTety Tunique parallèle à AB qui passe par le point G doit être, d'après le théorème précédent, perpt^ndiculaire au plan MN. Gette parallèle n'est donc autre que GD qui est la seule perpendiculaire possible à ce plan au point G (n* 230).