LIVRE V

Di'FnrmoN. On appelle angle rectiligne con^espondant à un angle ^ dièdre donnée Tangle formé par deux perpendiculaires à Taréte menées au môme point de cette

li^'fie dans les deux faces du dièdre. Ex. : l'angle

L'angle rectiligne correspondant à un dièdre est le même en quelque point de rareté qu'on mène les perpendiculaires»

Supposons qu'on en ait mené au point et au point D^ et comparons les angles ABC, MON. Les deux lignes AB, MO perpendiculaires à la même droite DE, dans le même plan ABE, sont parallèles; CB, NO sont parallèles par la même raison; les angles ABC, MON, ayant les côtés parallèles et dirigés dans le môme sens^ sont égaux.

260. A des angles dièdres égaux correspondent des angles rcctilignes égaux^ et réciproquement.

V Soient ABGD, GHliF deux dièdres égaux, auxquels corres*

pondent les angles rectilignes ABC, G 11F. Je fais coïncider les deux angles dièdres; pour cela je pose le plan GHE sur ABU, en mettant HE sur BD et le point H en B. Cela fait, le plan FHE coïncide de lui-môme avec CBD; autrement l'angle dièdre GHEF serait plus grand ou plus petit que ABGD. Les plans coïncidant et la ligne IIE étant sur BD, HG perpendiculaire à HE coïncide avec BA perpendiculaire à BD; HF coïncide de môme avec BC; les angles rectilignes ABC, GllF coïncident et sont égaux.

Réciproquement quand les angles rectilignes ABC, GHF, corres^ pondant à des dièdres BD, HE, sont égaux y ces dièdres sont égaux. En effet, transportons la figure GUEF sur la figure ABDC, en mettant le plan GHF sur ABC; les angles rectilignes étant égaux pourront coïncider; HG se placera sur AB et HF sur BC. Les plans ABC, GHF coïncidant, et le point H étant en B, la ligne HE porpeudiculaire au plan GHF (u*' !^30) coiacidera avec la ligne BD

perpendiculaire au plan ABC. Cela étante les plans GHR, ABD, passant par les mêmes droites AB^ BD qui se coupent coïncide* ront; les plans FHE^ GBD de même.

2G1. GoROLLAiRB. A uu angle dièdre droit correspond un angle

rectiligne droite et réciproquement.

Soit le plan AP perpendiculaire au plan MN ; menons à Tintersection AB une perpendiculaire 10 dans le plan AP et une perpendiculaire COD dans le plan WN. Les deux angles dièdres PABN, PABM étant égaux, leurs correspondants rectilignes lOD, lOG sont égaux; ces auglesrectiligues sont adjacents dans le plan ICD, donc ils sont droits. La réciproque est évidente.

Tliéorème.

26 'i. En général^ le rapport de deux angles dièdres est le même que celui des angles rectilignes contes pondants. Supposons qu'une commune mesure ABI des angles rectili^

gnes soit contenue trois fois dans ^ ''^'' ' ''' ^"~ '^ ABC et quatre fois dansEFO^

le rapport de ces angles recti-^ ligues^

ABC 3 EbO~V

Faisons passer un plan , dans^ chaque dièdre, par chaque^ ligne de division de l'angle rec tiligne et par l'arête. Nous formons ainsi sept angles dièdres partiels, égaux comme correspondant à d(îs angles rectilignes égaux; il y a troià de ces dièdres dans le ditîdro proposé ABDG, quatre dans

AHDC a ,^ A1M)G ABC le dièdre EFCO;^^Pj^ = -. Donc-j^pj^ = ^p;j^.

Évidemment cette démonstration s'applique quelle que soit la

uvaE T. 18S

oommnne mesure des angles rectilignes ou des angles dièdres ; notre théorème est donc vrai en générai.