LIVRE V
DAE, D'A'ET ont AD= AD', les angles droits D et D' égaux, et les angles DAE, D'A'E', égaux; ces triangles étant égaux, AE= A'E', DE=D'E'. Les triangles AEH, A'E'H' sont égaux; car AH = A'H'; AE=A'E', ranc;le EAH=E'A'H' (égalité des triangles ABC=A'B'C'); donc EH= E'H'. Enfin les triangles DEH, D'EU' ayant, diaprés ce qui précède, les trois côtés égaux chacun à chacun, sont égaux; donc l'angle EDH=E'D'H', et le dièdre SA est égal au dièdre S'A'. On démontrerait) par des constructions analogues faites sur les arêtes SB, S'A', que le dièdre SB = S'B'; de même SG = S'C. Notre théorème est donc vrai.
1"* Remarque. Dans les trièdres qui ont les faces égales et par
suite les dièdres égaux, les dièdres égaux sont compris entre des
faces égales chacune à chacune.
I V. les Exercices, p. i8i.
.. 272. 2* Remarque. Deux iriedres gui ont tous leurs éléments
égaux chacun à chacun ne peuvent pas toujours coïncider; il faut que les faces égales des deux figura soient senblablement disposées.
On peut placer les trièdres comme nous l'indiquons ici, rfig. (l)et(2);2»fig.(l)et(3).
Les faces égales ASC, A'SC, c ou ASC, A"SX", sont sur le même plan (cehii de la figure, par exemple) les côtés de ces angles étant parallèles deux à deux, et dirigés dans le même sens; les arêtes SB, S'B', ou SB, S"B", sont situées du même côté de ce plan (en avant, par exemple). Les trièdres ainsi placés, il ne peut se présenter que deux cas : ou bien, 1% fig. (1) et (2), les faces égales ASB, A'S'B' sont semblablement placées par rapport à ASC et à A'S'C (tontes deux à gauche); ou bien, â% fig. (1) et (3), tandis que ASB est à gauche de ASC, son égale A"S"B" est à droite de A"S"C". Dans le premier cas, les deux trièdres peuvent coïncider; en eff*et, fig. (1) et (2), la face A'SC étant mise sur ASC, S'A' sur SA et se sur se, comme le dièdre SA = S'A', la face ASB' s'applique sur ASB, et SB sur SB'. Dans Vautre cas, au contraire, (fig. (1)
et (3), si Fon essaye de faire coïncider les deux trîèdres, on est obligé de placer S"C" s«r SA et S"À" sur SC ; autrement les deux trièdresse trouveraient placés de côtés différents de leur face commune. Mais S"C" étant sur SA, comme le dièdre S'C n'est pas en général égal au dièdre SA, la face C"S''B" ne s'applique pas sur ASB, pas plus que A"S"B" sur CSB.
3* Remarque. Si la face BAS était égale à BSC, le dièdre SC serait égal au dièdre SA ; les deux trièdres ne pourraient pas manquer de coïncider. Il n'y aurait plus à di>tinguer entre la droite et la gaucho. (Les trièdres sont alors tsoèdres.)
Théorème.
^ 273. Si Ton prolonge les arêtes d'un triedre S ABC azi delà du c" ivp A^^ sommet^ les prolongements déterminent un nouveau / triedre dont toutes les parties sont évidemment / égales à celles du tinhdre proposé (angles opposés / par le sommet); néanmoins^ ces deux trièdres ne / peuvent pas coïncider.
En effet, remarquons d'abord que si ASC est A^ sur le plan de la figure, et SB en avant de ce
/ \\ plan, A"SC" est sur le plan de la figure, mais l'a-
/ 1 \y rôte SB" est derrière ce plan, ainsi que les faces / 1 \ C"SB" et A"SB". Four faire coïncider les deux / \ \ trièdnss, il faut préalablement ramener en avant ^ ? ^ le triedre SA'BT/', en lui faisant faire une demirévolution autour de Ta bissectrice des angles C"SA, A"SC, comme axe. Mais cela fait^les deux trièdres auront évidemment la disposition (i) et (3) (f\g;. précéd.). ASB est à gauche de ASC et A"SB* seraàdroite de A"SG"; les trièdres ne pourront donc pas coïncider. Les exercices à faire sont indiqués page i84.
Tliéorcmc.
« » -l. Deux trièdres (jujont unpnjg/e dièdre ^al^ compris entre deux facem égales chacune à chacune^'son^ égaux ââris loutes JefÉrs'parfîefT^
!• Les trièdres peuvent avoir la.dis osition (l) et (2) (flg. du n'272); alors ils peuvent ciâncider comme nous l'avons démontré tout à Theure; ils sont donc égaux dans toutes leurs parties. Ou bien, ils ont la disposition (1) et (3); alors ils ne peuvent pas coïncider ; mais fi on prolonge les arêtes du triedre (1)
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on obtient an triôdre qut, ramené en avant^ aura ses faces disposées commo celies da trièdre(3)yet pourra coïncider afec lui. Les deux trièdres proposés (1) et (3) 9ont donc égaux dans toutes leurs parties.
On démontre de même la proposition soiTante : Deux irièdre» sont igava dans toutes leurs parties quand ils ont une face égale adjacente à deux dièflits égaux chacune chacun. (V. les Exercices.)c /j^f'^if^^'iih^ M-^^i^^^r^
i /" EXERCICES.
I «3, 4i, 45, 46. Dire et démontrer à propos des faces et des dièdres d*un trièdre
les propositions analogues aux propositions suivantes du 4** livre, n** 35, 36, 37, 38, 39. [Exercices,)
47, 48, 49, 50, 51. Dire et démontrer i propos des trièdres les propositioDi «nalo^es aux propositions suivantes du 4*' livre : 29, 30, 31, 32 et 33 (cas d'égalité et de symétrie). {Exercices,)
53. Les trois plans perpendiculaires aux faces d*un trièdre menées parles bissec* trices de ces faces se coupent suivant la même droite.
S3. Les trois plans perpendiculaires aux faces d*un trièdre menées respectivement pair les arêtes opposées se coupent suivant la même droite.
6i. Les trois pians menés respectivement par les arêtes d'un trièdre et par les bissectrices opposées se coupent suivant la nnème droite.
55. Les trois plans bissecteurs des dièdres d'un trièdre se coupent suivant la »»i«me droite (Ex. 39) (*).
56. Si on mène par le sommet d*un trièdre une perpendiculaire i chaque arête ^ sans la face opposée, les perpendiculaires ainsi menées sont dans le même plan.
Tlivorèiiie.
27JS. Chaque point du plan bissecteur d'un angle dièdre est éga* > bernent distant de ses faces; tout point pris dans l'angle dièdre ^ \ ailleurs que sur le plan bissectevr, est inégalement distant des \ faces, '■
St>it M lin point du plan EBC, bissecteur du dièdre ABCD ; j'abaisse de M les perpendiculaires MI, MU sur les faces ABC, DBC; .
(*) On voit que tous les ihéorèmes du 1" livre (démontrés ou à démontrer) relatilis aux angles et aux trianglt's ont généralement leurs analogues pour les d èdres et pour les triè«lre8. Le rapprochement de ces propositions est intéreS" sant (Voyes à la fin du libre) ; les démonstrations des dernières par comparaison aree tes premières oiTtent des exercices très-utiles.
il faut prouver queMI=MH. En effet, le plan LMH perpendiculaire aux plans ABC, DBG (967) est perpendiculaire à leur intersection BC, qu'il rencontre en un point 0; ses intersections avec les plans ABC, DBC, DBC, sont les droites OH, OM, 01, respectivement perpendiculaires à BC. Les angles rectilignes, HOM, MOI, qui mesurent les angles dièdres égaux ABGE, EBCD, sont égaux : les triangles MOH, MOI, rectangles en I et en H, sont donc égaux, etMI=:MH.
Soit maintenant un point N, situé hors du plan bissecteur EBC; abaissons les perpendiculaires NI et NP sur les faces DBC, ABC; le plan INP perpendiculaire à ces faces, et par suite à leur intersection BC (267), coupe les trois plans suivant les lignes 01, OM, OP; OM est la bissectrice de Tangle lOP; le point N n'étant pas situé sur cette bissectrice, on a NP < NI (!*' livre).
Le plan bissecteur d'un angle dièdre est donc le lieu géométrique ides points également distants de ses faces.
Trièdres supplémentaires.
Théorème.
276. iSî d'un point pris dans l'intérieur d'un angle dièdre on abaisse des perpendiculaires sur les faces^ l'angle de ces perpendiculaires est le supplément de l'angle dièdre.
Si cette proposition est démontrée pour un point M pris dans rintérieur du dièdre, elle le sera pour tout autre point M' également pris dans Tintérieur. En effet, si de chacun des points M, M', on abaisse des perpendiculaires sur les faces du dièdre, les angles M et M' ayant les côtés parallèles et dirigés dans le même sens, seront exactement les mêmes.
Gela posé, je prends un point M du plan bissecteur du dièdre (figure précédente), et j'abaisse les perpendiculaires MH, MI. L^ plan IMH perpendiculaire aux faces ABC, DBC, est perpendicalaire en à leur intersection BC. Tirons OH et 01, l'angle HOr mesure le dièdre ABCD; mais dans le quadrilatère HOUL
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: qui a deux angles droits, I et H, là somme des deux autres an* igles H01+ IMH=2 droits, C. Q. F. D.
Remarque. Le plan HIM coupe le plan bissecteur suivant OM;
l'angle I0M=HOM=-H0I est aigu; les perpendiculaires MI,
MH tombent donc nécessairement sur les faces mémos de Tangle dièdre, et non sur leurs prolongements; Tarôte BG traverse le plan IMH dansFintérieur de l'angle ÏMH.
Théorème.
; 277. SicPun point pris dans l'intérieur d'un angle solide trièdre
'SABG, on mène des perpendiculaires MP, MQ; MR, aux faces ASB,
BSC, ASC, le trièdre MPQR, qui a ces perpendiculaires pour arêtes ^
et le trièdre proposé, jouissent des propriétés suivantes : V les faces de MPQR sont respectivement supplémentaires des angles d èdres de S ABC ; 2" réciproquement, les faces de SABG sont respectivement supplémentaires des dièdres de MPQR. A cause de ces propriétés, les deux trièdres sont dits suppléa mentaires Vun de Vautre, Remarquons d'abord que si on démontre celte proposiiion pour un point quelconque. M, situé dans l'intérieur du trièdre SABC, elle sera démontrée pour tout autre point M' également situé dans Tintérieur j en effet, si de chacun de ces points on mène des perpendiculaires aux faces de SABC, les deux trièdres M et M', ayant leurs arêtes parallèles et dirigées dans le même sens, sont égaux dans toutes leurs parties, et même superposables. Nous prendrons le point M sur l'intersection, SM, des plans bissecteurs des dièdres SA, SC; ce point M, également distant des trois faces, se trouve en même temps dans le plan bissecteur du dièdre SB. Il résulte de là que chaque perpendiculaire, MP, par exemple, tombe sur la face même ASB du trièdre proposé, et non sur le prolongement de cette face; et de plus que chacune des arêtes SA (par exemple) du trièdre SABC traverse la i face correspondante PMR de l'autre trièdre dans l'intérieur de \ Vangle PMR.
i" Cela posé, il résulte du théorème précédent que Tangle PMR est supplément du dièdre SA > TanglePMQest supplément du dièdre SB, etc. ;
2» Le plan PMR perpendiculaire aux plans ASC, A SB, est perpendiculaire à leur intersection SA, et réciproquement. De même, se est perpendiculaire au plan QMR, et SB au plan PMQ. De plus, les perpendiculaires SA, SC, SB, tombent ainsi que nous l'avons remarqué, dans l'intérieur des angles PMR, QMR, et noa à côté (remarque précédente) ; le point S est dans Pintérieur du dièdre MR ; il est de même dans Tintérienr du dièdre MQ et dans rinlérieur du dièdre MP. Cela posé, il résulte du théorème précédent que Tangle ASC est le supplément du dièdre MR, ESC est le supplément du dièdre MQ, et ASB le supplément de MP* C. Q. F. D.
Théorèmo.
278. Deux trièdres qui ont leurs dièdres égaux chacun à chacun sont égaux dans toutes leurs parties.
En effet, soit S et T les deux trièdres proposés. S' et T les trièdres supplémentaires. Les dièdres de S et de T étant égaux, chacun à chacun, leurs suppléments, c*est-à-dire les angles plans de S' et de T' sont égaux chacun à chacun ; les trièdres S' et T, ayant leurs angles plans égaux chacun à chacun, sont égaux Jans toutes leurs parties. Les dièdres de S' et de T' étant égaux, leurs suppléments, c'est-à-dire les angles plans de S etde T sont ésaux chacun à chacun.
Tlicorème.
278 bis. La somme des angles dièdres d'un trièdre est comprise entre deux droits et six droits.
En effet, soient A, B, C, les angles dièdres du trièdre donné, et û, 6', c'j les angles plans de Tangle trièdre supplémentaire. Nous savons que A + a' = â*'; B +6' = 2*'; C -|- (/ = 2*'; par suite A + B + C= 6*' — (a' -}- 6' + c).
Mais a' + 6' +{/ est moindre que 4"' (n*» 270} ; donc la somme
LIVBE V.
A -f B + C est moindre que 6*' et plus grande que 6** — 4*' = â*% Notre proposition est donc démontrée.
ANALOGIES BT DirP^RENCES ENTRB LES ANGLES TRI&DRES ET LES ANGLES RECTIUGNBS.
278 ter. Il y a beaucoup d'analogies et quelques différences.
Dans un triangle^ on considère six éléments : trois côtés et trois angles.
Dans un triëdre» on considère trois faces et trois angles dièdres.
Les faces du trièdre correspondent aux côtés du triangle, les angles dièdres aux angles rectilignes^ et les arêtes des angles dièdres aux sommets des angles rectilignes.
Si on considère dans le premier livre les propositions qui concernent régalité ou rinégalité des éléments d'un même triangle^ ou de deux triangles, puis qu'on essaye d'établir des propositions analogues relatives aux angles trièdres^ ces propositions sont généralement vraies sauf quelques différences que nous allons indiquer.
Analogies,
1. Un côté d'an triangle est plus peut que la somme des deux autres.
2. Deux triangles ont tous leurs éle'ments égaux chacun à chacun quand ils ont :
— un angle égal compris entre deox c6té8 égaux chacun à chacun.
8. — Un côté égal adjacent à deux angles égaux chacun à chacun.
