LIVRE W

lignes SA, SD^ SC; je prends ensuite sur la troisième arête une longueur SB=SD, et je mène les lignes AB, BG. Les deux triangles SCB, SCD ont le côté SC commun, SB=SD par construction, et l'angle CSB = CSD; ces deux triangles sont donc égaux^ et GD=BG.

Dans le triangle ABG, on a AG<AB+BG; ce qui revient à AD + CD < AB + BG; d'où, en retranchant GD = BC, on conclut AD < AB. Les deux triangles ASD, ASB ont le côté SA commun, SD = SB et le troisième côté AD<AB; donc^ en vertu d'un théorème démontré (liv. I, n^ 32), l'angle ASD est plus petit que ASB. En ajoutant d*une part l'angle DSC et de l'autre son égal BSG, on trouve enfin :

ASD + DSC ou ASG<ASB + BSa C.Q.F.D.

Tliéorèine.

270. La somme des angles plans d'un angle polyèdre convexe quelconque est moindre que quatre angles droits.

Je mène un plan qui coupe la surface de l'angle solide suivant le polygone convexe ABCDE. Gela fait, je remarque que l'on a au point A un angle solide trièdre, dans lequel l'un des angles plans

EAB<SAE+SAB;

au point B,

au point G,

au point D,

et (înfhi en E,

ABG<SBA + SBC; BCD<SGB+SGD; CDE<SDC4-SDE;

AED<SED-tSli:A.

En additionnant ces '{égalités membres à membres^ on trouve, (l'une part, la somme des angles du polygone ABCDE^ qui vaut 2/i'*roito — 4 droits, si n est le nonibio des tôles du polygone (68), et de Tautre, la bomme des angles adjacents aux bases des triangles,, en môme nombre n, qui ont le sommet commun S. Cette seconde somme d'an^^les est égale à tn^^^ — S (Miailf^rla somme

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COUAS DE GÉOMÉTRIE.

de tous les angles des n triangles, moins la somme, S, des angles au sommet S, qui ne sont autres que les faces de l'angle solide proposé. L'addition faite, on a donc :

^ 2»***»— 4 droits <>»*^"'— S. 'It^VV

Pour que Ton ait un reste moindre en retranchant 4 droits de Oy^droits qu'en retranchant S de la môme grandeur, il faut évidemment que Ton ait 4 droits > S, ou S < 4 droits. C. Q. F. D.

Tlicorcme.

271. Deux trîèdres gui ont les faces égales chacune à chacune^

ont leurs dièdres égaux chacun à chacun.

Supposons que Ton ait ASB = A'S^; ASG=A'S'C'; BSG=B'S'C'. Prenons, à partir de S et de S', les longueurs égales SA, SB, SC> S'A', S'B', S'C, et menons AB, BC, AC, AB', A'C, B'C. Nous formons ainsi quatre triangles d'une part, et quatre de l'autre, qui sont égaux chacun à chacun. Les triangles isocèles ASB, A'S'B' sont égaux comme ayant un angleégal (en S et en S') compris entre côtés égaux; de même les triangles isocèles ASC, A'SC; puis BSG,B'S'C'; enfin, les triangles ABC, A'B'C ont les trois côtés îl\-...\ , égaux chacun à chacun; AB = A'Ii' (égalité- / \ '/ ^' d.!S triangles ASB, A'S'B'), etc. Cela posé, menons au point D, pris quelconque sur SA^ une perpendiculaire DU à cette ligne dans le plan ASB, et un^ perpendiculaire DE dans le plan ASC; DE et DH (qui rencontrent AB, et AC dû côté des angles aigus SAB, SAC), forment l'angle rectiligne EDI) cocrcspondant au dièdre SA du premier trièdre proposé. Prenons A'D' = AD et taisons au point D' la même construction qu'au point D; l'angle E'D'H'= dièdre S'A', il nous faut démontrer que EDil = E'D'Q'. En effet, les triangles ADH, A'D'ir sont égaux comme ayant le côté AD = A'D', leurs angles en D et en D' droits, Tangle DAlï=D'A'H' (égalité des triangles ASB, A'SB'Ji^ donc AU = Ali'; DU^D'D'. De môme les triangles