LIVRE

Tliéorcnic*

29. Deux triangles sont égaux quand ils ont un angle égal comptais entre deux côtés égaux chacun à chacun.

Soient les deux triangles ABC, DEF, tels que

AB = DE, AC = DF, et l'angle A = Tangle D.

Ces deux triangles sont égaux.

Pour le démontrer, transportant le triangle DEF sur ABC, je place le côté DE sur son égal AB, le point E en B, et le point D en A.. L'angle D étant égal à Tangle A, le côté DF prend alors de lui-même la direction AC, et comme DF= AC le point F tombe justement en C. Le point E coïncidant déjà avec B, le côté EF coïncide avec BC (n** 2). Les deux triangles ABC, DEF, coïncidant dans toute leur étendue, sont égaux.

Théorcmc.

50. Deux triangles sont égaux quand ils ont tm côté égal adjacent à deux angles jêgaux chacun à chacun.

Soient les deux triangles ABC, DEF, tels que BC = EF, Tangle B = E, Tangle C = F: ces deux triangles sont égaux.

Pour le démontrer, transportant le triangle DEF sur ABC, je place le côté EF sur son égal BC, le point E en B, et le point F en C. L*angle E étant égal à Tangle B, le côté ED prend aloçs de lui-même la dircciion BA à partir de B, et le point D tombe quelque part sur BA ou fiur son prolongen)ent. Mais langle F étant aussi égal k l'angle C^ le côté FD prend la direction CA ot le point p

tombe quelque part sur CA. Le point D devient donc commun k BA et à CA ; il coïncide avec le point A, qui est le seul point commun à ces deux lignes. Le point D étant en A, E en B, et F en C, les deux triangles ABC, DEF coïncident dans toutes leurs parties; ils sont donc égaux.

Pour démontrer le troisième cas d'égalité des triangles, on s'appuie sur la proposition suivante :

Théorème.

f 31. Lorsque deux triangles ont deux côtés égaux chacun à cha^ cuny et que Vangle compris est plus grand dans le premier triangle que dans le second y le troisième côté du premier triangle est plus grand que le troisième côté du second.

Soient les deux triî)ngles ABC, DEF, tels que

AB = DE, AC = DF, et l'angle BAC > EDF

Le côté BC est plus grand que EF.

Pour le démontrer, transportant le triangle DEF sur ABC, je place le côté DE sur son égal AB, le point D en A et le point E en B; Tangle EDF étant plus pelit que BAC, le second côté DF prend dans rintérieur de BAC la position Al, et le troisième côté EF la position BL EF étant devenu BT, il suffira de prouver que BC est plus grand que BI. Pour cela, je divise Tangle lAC en deux parties égales par la ligne AO que je termine au point sur BC; puis je trace 10. Les deux triangles lAO, OAC ont un angle égal, IAO=OAG (par, construction), compris entre deux côtés égaux, savoir AO commun^et AI=DF^AC; ces deux triangles sontdonc égaux (29) et OC = OL Cela posé, dans le triangle BOl on a BI < BO -f- 01; ce qui revient à BI < BO + OC, ou BI < BC. Mais BI = EF; donc EF< BC, ou BC > EF. Ce qu'il fallait démontrer.