LIVRE VI
Thcorcme.
312. Si ron coupe une pyramide SABC, par un plan abc parallèle à la hase y on détermine uns nouvelle pyramide semblable à la première.
En effet , la face SAB est semblable à ^ab (ah parallèle à AB); de même SAC est semblable à Sac; SBC semblable à Sbc\ enfin les faces ABC^ abc y sont évidemment équiangles et semblables (n* 293).
De plus^ les angles solides homologues sont égaux chacun à chacun; car S est commun; ensuite deux autres angles homologues quelconques, par ex. : Â et a, sont évidemment composés d'angles plans égaux et semblablement disposés. Les deux pyramides ayant leurs faces semblable» chacune à chacune^ et leurs angles solides homologues égaux^ sont semblables. Remahqub. Les arêtes homologues de nos deux pyramides sont
„ SA AB SB BG , proporUoniielles:^=-=^=-, etc..
Tlicorème.
513. Deux tétraèdres S ABC, TDEF, qui ont un angle dièdre égal compris entre deux faces semblables et sem* blablement placées sont semblables.
Pour le démontrer, je prends sur SA une longueur Sa=TD, et je mène le plan abc parallèle à ABC; J'obtiens ainsi un tétraèdre Sabcy semblable à S ABC (2jf2) . Si je démontre que le tétraèdre TDEP ^ est égal à Sa6c, j'aurai démontré que TDEF est semblable à SABC. Comparons donc Sabc^ TDEF : SA = TD ; l'angle aSb = DTE ; Sab = SAB = TDE (similitudes dt^s faces SAB, TDE) ; les triangles Sab, TDE sont donc égaux. Les triangles Sac, TDF de même. Cela pose, pour faire coïncider les pyramides TDEF, Sabc, mettons la face TDF sur son égale Sac ; le dièdre TD étant égal au dièdre Sa,
COUUS DE Gl-'OMÉTRIE.
le plan TDE s'appliquera sur le plan Sab; la ligne TD étant déjà sur Sa, TE tombera sur son égale Sb et le point E se placera en b. Cela étant, les sommets des deux tétraèdres TDEF, Sabc coïncident, et par suite toutes leurs faces : ces deux tétraèdres sont donc égaux. TDEF est donc semblable h SABC. C. Q. F. D.
Il y a divers cas de similitude des tétraèdres analogues aux cas de similitude des triangles. Us se démontrent eomme le précédent.
Vliéorènie.
314. Deux polyèdres semblables peuvent être décomposés en un même nombre de tétraèdres semblables et semblablement disposés.
Pour plus de netteté dans la figure, nous considérerons deux parallélipipèdes semblables; mais nous ferons le raisonnementcomme
si c'étaient deux polyèdres semblal)les quelconques. On peut joindre le sommet S de Tun des polyèdres aux sonunetsde toutes les faces qui ne passent pas par ce sommet S ; les lignes menéesSA,SC,SD,etc...sont lesarétesde pyramides polygonales ayant toutes lesommetS; et pour bases ces faces non adjacentes èuS; ex. ; lespyramidesSADGC,SDEFG,SABEDn.
On peut ensuite décomposer chacune de ces pyramides polygonales en tétraèdres, en partageant sa base en triangles; on obtient ainsi des tétraèdres comme SDEF, SDGF; le polyèdre ABCSDEFG est ainsi décomposé en un certain nombre de tétraèdres. Soit s le sommet du second polyèdre, homologue à ^ on peut décomposerde la même manière le polyèdre abcsdefgexf tétraèdres homologues à ceux qui composent le premier polyèdre; on détermine ces tétraèdres en menant dans le second polyèdre des lignes homologues à celles que nous avons menées dans le premier ; sa, se,
(*) Ces pyramides &ont distinctes les unes des autres, car le plan SDG, par exemple, correspondant à Tintersection de deux faces ADGC, EDGF, Uiase eotiôremeal d'un côte la pyramide SABGC, et de l'autre la pyramide SDGEF.
