LIVRE VI

sd, etc. puis rfc, df, etc.. Il nous faut maintenant démontrer que les tétraèdres homologues des deux polyèdres sont semblables chacun à chacun.

1* Si l'on considère deux pyramides polygonales homologues s quelconques de ces polyèdres, il suffit de dé-

montrer la similitude de deux tétraèdres homologues de ces pyramides, pour conclure la similitude de tous les autres. Considérons par exemple deux pyramides, SABCDE, sabcde, ayant les bases semblables comme le sont celles de nos deux polyèdres, supposons que les tétraèdres SABC, sabc, aient été reconnus semblables, et comparons les tétraèdres adjacents SACD, sacd. Le dièdre SACD=dièdre sacd (supplémentaires des dièdres égaux SACB, sacà) ; la face SAC est semblable à snc (similitude des tétraèdres SABC, sabc); la face ACL) est semblable à acd (simllilude des bases ABCDE, abcde); les deux tétraèdres SACD, sacd ontdonc un dièdre égal compris entre des faces semblables et semblablement disposées; donc ils sont semblables. On démontre exactement de la même manière la similitude des tétraèdres suivant SADE, sade; et ainsi de suite s'il y en avait plus de trois dans chaque pyramide polygonale.

2* Considérons dans le premier polyèdre une pyramide polygonale SDEFG, dont la base soit adjacente à l'une des faces qui passent par le sommet S, et côm parons-la à son homologue sdefg de l'autre polyèdre. Commençons par les tétraèdres SDEF, sdef dans lesquels se trouvent les dièdres EF, ef, des polyèdres: dièdre EF = dièdre ef (par définition); la face SEF est semblable à sef: le triangle DEF est semblable à def (similitude des faces des deux polyèdres); les deux tétraèdres SDEF, 5ûfe/* sont donc semblables. Les autres tétraèdres des pyramides polygonales SDEFG, sdefg^ sont semblables (d'après 1®).

3<> Considérons maintenant deux pyramides polygonales SACGD, sacgd, respectivement adjacentes à deux pyramides SDEFG, sdefg, déjà considérées et composées de tétraèdres semblables.

Considérons dans ces pyramides les tétraèdres SCD6, scdg^ respectivement adjacents aux tétraèdres SDFG, sdfg^ déjà reconnus

semblables. A cause de la similitude de ces derniers tétraèdres^ la faceSDG est semblable à sdg; le dièdre SDGF est égal au dièdre sdgf\ en retranchant ces dièdres des dièdres homologues égaux CDGF, cdgfy des deux polyèdres, il reste deux dièdres égaux SDGC, sdgc ; les faces CDG, cdg sont d'ailleurs semblables comme triangles homologues des faces semblables ÂDGC, adgc; les deux tétraèdres SGDGy scdg^ ont un angle dièdre égal, SDGC =5£f^c, compris entre des faces semblables et semblablement disposées ; ils sont donc semblables. Les autres tétraèdres homologues des pyramides polygonales SÂGGD, sacgd^ sont donc semblables (l"").

Notre proposition est actuellement démontrée; les tétraèdres homologues des deux polyèdres proposés sont semblables chacun à chacun. Car, ayant commencé par comparer deux pyramides polygonales dont les bases sont adjacentes à des faces qui passent par lé sommet S, on peut comparer ensuite les pyramides homologues adjacentes à ces premières pyramides, puis des pyramides adjacentes et ainsi de suite, jusqu'à ce qu'on ait considéré, de proche en proche, toutes les pyramides polygonales des deux polyèdres.

Remarque. Dans la décomposition précédente, on peut choisir pour sommets des tétraèdres deux sommets homologues quelconques des deux polyèdres :

Les droites homologues de deux polyèdres semblables sont donc proportionnelles, les arêtes comme les diagonales.

Vlicorèmc.

51 S. Les volumes de deux polyèdres semblables sont entre eux dans le même rapport que les cubes de leurs arêtes homologues. V Nous allons d'abord le prouver pour deux pyramides semblables. En prenant sur l'arête SA de la plus grande pyramide une longueur Sa égale à l'arête homologue de la plus petite, et menant le plan abc parallèle à la base, on obtient, comme nous l'avons vu (n« 313), une pyramide égale à la seconde a/ j 1 \ Q pyramide proposée. En abaissant SO perpendiculaire à ABC, nous avons sur la même direction les ^" hauteurs 80, So des deux pyramides.,