LES TROIS CORPS RONDS

316. DûmmoKS. On appelle cylindre le solide produit par la H révolution d'un rectangle ABCO qu'on ima-

gine tourner' autour d'un de ses cdtés AO qui reste fixe.

Dans ce mouvement, les edtés AB, OG, toujours perpendiculaires à l'axe, décrivent des cercles BIEH. CFUJ qu'on nomme bases d|i cylindra; la ligne BC, appelée gémratrict, en décrit la surface latérale, La ligne fixe AO est l'axe ou la hauteur du 7 cylindre.

Toute secUon plane faite suivant l'axe est un rectangle double du rectangle générateur; ex. : IFJH.

Toute section, MGN, faite par un plan perpendiculaire à l'axe, est un cercle égal à chacune des bases. En effet, ce plan coupe le rectangle générateur suivant une lighe KN; dans le mouvement de ce rectangle autour de AO, cette ligne KN décrit, sans quiller le plan perpendiculaire, un cercle égal au cercle OC puisque KN=0G(i33).

Deux cylindres sont temblables quand les rayons de leurs bases sont proportionnels à leurs hauteurs.

sss

317. Supposons qu'ayant inscrit dans la base d'un cylindre un r polygone régulier AUCO, on construise, sur ce

polygone comme base, un prisme droit de miicne ' iiatiteur rjue le cylindre; les aréles KE, BH, etc., de ce prisme, perpendiculaires aux bases, sont aillant de positions de la génératrice mobile; ellpssont donc situées sur la surface. Ce prisme, qui a la position indiquée, est dit inscrit dans le cylindre; le cylindre est circonscrit au prisme. Si le nombre des côtés du polygone inscrit * augmente indéfiniment, ces côtés devenant infi-

niment petits, les faces latérales du prisme deviennent iniîninient petites; la surface latérale du priscne, composée de ces faces, se rapproche indéfiniment de celle du cylindre, jusqu'à en différer d'une quantité moindre que toute grandeut' donnée. En d'autres ternies :

318, On admet comme évid<>nt que la surface latérale du cylindre est la limite de la surface d'un firisme inscrit dont le nombre det facei croit mdffiniment , ces faces devenant infiniment petite»; le tolame du cffimire est la limite du volume du même pritme.

Théorème.

319. Le volume d'tm cijUndre est égal au produit de sa base par ta hauteur.

Inscrivons dans la base du cylindre un polygone régulier, et construisons un prisme inscrit qui ait pour base \t- ce polygone et même hauteur que le cylindre. Le volume de ce prisme est égal au produit de sa base que nous désignerons par B, par sa hauteur H; V=BxH(l).

Supposons maihtenant que le nombre des cAlia du polygone, et par suite le nombre des fkces du " prisme, augmentent indéfinimont; le volume du prisme tend vers une Hmile qui estlevoli/me da cylindre (Î18), tandis que la surface du polygone tend vers saltmîlo qui est le cercle; la hauteur IO=H ne varie pas. L'égalité (1),

LIVBE VII. 239

toujours vraie, quel que soit le nombre des côtés du polygone^ devient à la limite :

voL cyl. = cercle ODxH; G. Q. F. D.

Remarque. Si R désigne le rayon de la base d'un cylindre et H la hauteur, on a vol. cyl. =7îR2xH.

THéorèmc.

520. La surface latérale (Tun cylindre a pour mesure la circon' férence de sa base multipliée par sa hauteur H.

Pour le prouver, inscrivons dans la base du cylindre un polygone régulier, et construisons un prisme inscrit qui ait ce polygone pour base (fig. précédente). La surface latérale de ce prisme est un assemblage de rectangles égaux dont Tun HBCK a pour mesure BCxBfl ou BGxIO; la somme de ces rectangles ou la

surf. lat. du prisme=6BCxI0=pérîm. ABCDEFxlO. (1)

Supposons maintenant que le nombre des côtés du polygone inscrit, et par suite le nombre des faces latérales du prisme, augmentent indéfiniment; la surface latérale de ce prisme tend à se confondre avec la surface latérale du cylindre, tandis que le périmètre du polygone tend vers sa limite qui est cire. OD; la hauteur 01 ne change pas. L'égalité (1), toujours vraie» quel que soit le nombre des côtés du polygone, devient à la limite

surf. lat. du cylindre = cire. ODxlO. G. Q. F. D.

Remarque. Si Ton désigne le rayon OD par R et la hauteur 10 par H, il vient

— surf. lat. cyl. = cire. RxH = 2irR X H.

SâO bis. Gtlindre droit a base quelconque. Soit une courbe plane quelconque ABCDEF (tig. précédente) (*); imaginons qu'une droite

n Supposons, par exemple, que ABCDEF soit une ellipse. Nous conservons

de longueur donnée, AG, perpendiculaire au plan ABCDE, se meuve parallèlement à elle-même, de manière que son extrémité A parcoure la courbe ABGDEF; l'extrémité G décrit une courbe égale et parallèle GHKL...^ tandis que la ligne AG elle-même décrit une certaine surface qu'on appelle surface cylindrique. La figure que forment les deux aires planes ABCD£F^ GHKL..., et la surface cylindrique est ce qu'on appelle en général un cylindre droit.

Les figures planes ABCDE, GHRL..., sont les bases du cylindre et AG est sa hauteur. Quand les bases sont des cercles, la figure est un cylindre circulaire droit ou simplement un cylindre; c'est cette figure que nous avons considérée jusqu'ici.

Imaginons que dans la base d'un cylindre droit on inscrive un polygone quelconque ABCDE; puis, qu'on construise un prisme droit ayant ce polygone pour base inférieure et AG pour hauteur (Y. la figure.) Toutes les arêtes de ce prisme coïncident avec les positions correspondantes de la génératrice et se trouvent par conséquent sur la surface du cylindre. La base supérieure du prisme est inscrite dans celle du cylindre; et le prisme lui-même est inscrit dans le cylindre. Si l'on augmente indéfiniment le nombre des côtés du polygone inscrit, de manière à ce qu'ils deviennent infiniment petits, le prisme tend indéfiniment à se confondre avec le cylindre, et à la limite se confond avec lui. Nous pouvons donc appliquer au cylindre droit à base quelconque tout ce qui a été dit à propos du volume et de la surface d'un cylindre circulaire; car tout ce que nous avons dit repose uniquement sur ce fait que les faces d'un prisme droit inscrit devenant infiniment nombreuses et infiniment petites, ce prisme se confond sensiblement avec le cylindre. Les propositions suivantes sont donc vraies :

Théoràub. Le volume d'un cylindre droit à base quelconque est égal au produit de sa base par sa hauteur.

Théorème. La sur face convexe d'un cylindre droit à base quel-^ conque est égale au périmètre de sa base multiplié par sa hauteur^

a dessein la même figure, afin de mieux montrer que tout ce qui a été dit d(ft cylindre oïdinaire s'applique au cyliudre droit à ba8e quelconque.