D SI
6BGx-^; ce qui est bien le périmètre de la base, multiplié par la moitié de l'apothème.
Tliéorèmc.
527. La surface latérale d'un cône est égale à la circonférence de sa base multipliée par la moitié de son côté.
Inscrivons dans la base du cône (fig. précéd.) un polygone régulier ABCDEF^ et construisons la pyramide inscrite SABGDEF. La surface latérale de cette pyramide
S = périm. ABCDEF X 5.
Imaginons maintenant que le nombre des côtés du polygone^ et par suite le nombre des faces de la pyrigi^ide^ augmentent indéfiniment; la surface latérale de la pyramide inscrite tend à se confondre avec la surface latérale du cône^ tandis que son apothème tend vers le côté SB du cône qui est sa limite, et le périmètre de sa base vers la circonférence du cercle. L*égalité (i) toujours vraie^ devient à la limite
surf. lat. du cônç= cire. R x - = SuR x^ = wxRxA.
(R désigne le rayon de la base, et A Tarôte SB du cône.)
Théorème.
328. Le volume du cône tronqué dont les rayons des bases sont
OCz=z]{et\F=ret la hauteur IO=H, est égal à - ic X H X (R* +
Achevons le cône dont le tronc proposé fait partie et inscrivons»y
une pyramide régulière SA6CD. Le plan de la petite base du tronc de cône détermine un tronc de pyramide EHFNABCD dont le volume
A = iHx(B+6 + v^ÏÏx6) (1),
B étant Taire du polygone A6GD et fr celle de EHFN (n* 300). Imaginons maintenant que le nombre des côtés du polygone inscrit dans chacune des bases du tronc de cône, et par suite le nombre des faces du tronc de pyramide inscrit^ augmentent indéfiniment. Le tronc de pyramide tend vers le tronc de cône, tandis que l'aire de chaque polygone tend vers le cercle circonscrit. La hauteur IO=H ne change pas. L*égalité (1], toujours vraie, quel que soit le nombre des côtés du polygone inscrit, devient à la limite
vol. tronc de cône==^ï X (cerc. R + cerc. r+ ycercUxcercr), ou vol. tronc de cône =^t^. H. (R* + r« + Rr). G. Q. F. D
Tlicorcme.
529. La surface latérale d'un tronc de cône a pour mesure son côté multiplié par la demi-somme des circonférences de ses bases^ . achevons le cône dont le tronc proposé fait partie, et inscrivons-y une pyramide régulière SABGD (fig. précédente). Le plan de la petite base du tronc de cône détermine un tronc de pyramide EHFNABGD dont la surface convexe est formée de trapèzes îso- ' cèles EABH, HBGF, etc., égaux entre eux. La hauteur de chaque I trapèze qu'on appelle Vapothème du tronc de pyramide, est la ligne qui joint les milieux des ( ôtés parallèles (soit PQ relie du trapèze EABH ; menez celte ligne du milieu de EH au milieu dé AB). L'aire de chaque trapèze étant égal à la demi-somme dt^ ses bases . parallèles (AB, EH par ex.), multipliée par son apothème, on
WVRB VIL 247
Arouve en additionnant toutes les aires que la surface convexe du
tronc de pyramide est égale à la demi-somme des périmètres de
I ses bases multipliée par l'apothème (facteur commun). Mais le
\ tronc de pyramide^ quand le nombre de ses faces augmente indé*
pniment^ tend vers le tronc de cône^ tandis que les périmètres des
/bases tendent vers cire OC et oirc. IF, et l'apothème PQ vers le
icôté.EA du tronc de cône. A la limite, la surface convexe du tronc
i de cône est donc égale à la demi-somme des circonférences de ses
pases multipliée f)ar son côté.
Remarque. Soient A le côté ou l'arête d'un tronc de cône, R et r [es rayons de ses bases.
Sa surface = (tiR + irr) A = tcA x (R + r).
Autre démomstration. Âcheyons le cône et menons dans le plan SAB une perpendiculaire BM à SB^ égale à cjrc. OB : Je tire SM et je mène CN parallèle à
BM. Les triangles semblables SOB, SIC d'une part» SBM^ SCN de l'autre, donnent
OB SB BM SB ^, ^ ^ „ OB BM ,, Sn.OB BM
— = — et — = — ; d où résulte — = — et nar suite = — .
IG se CN se' IC CN t»»^*»"»»^» 2ir.n CN
Comme BM=2ic.0B, CN=2ic. IG. Cela posé^ la surface latérale du grand cône
SAB=2ic0B x-SB, et celle du triangle SMB = BMX - SB sont équivalentes;
il en est de même des surfaces du cône SDC et du triangle SCN. La différenee des surfaces coniques, ou la surface convexe du tronc de cône, équivaut donc à la différence des deux triangles qui est le trapèze CBMN. En évaluant l'aire de celui-ci (n* 201), puis remplaçant ses bases BM et CN par cire. OB et cire. IC, CD trouve que la surface convexe du tronc de cône a bien la mesure annoncée.
530. Remarque. La surface latérale d^un tronc de cône a aussi pour mesure son côté multiplié par la circonférence de la section équidistante de ses bases.
Soit cire. KH cette circonférence équidistante des bases (figure précédente): 11 est le milieu de 10.^ '
On sait que KH =s(CI + OB) n* 202); par suite 27cKH=|
(2icCI -|- 2iiOB) ; cire. KH est la demi-somme des circonférences des bases. En remplaçant cette demi-somme par cire. KH dans la première mesure^ on trouve celle que nous venons d'indiquer.
EXERCICES
Problèmeê numériques»
49. Uoe meule cylindrique de bl6 de 3",60 de rtjon eit termlDée par un comble conique de S^iGO de haut; la hiuleur totale est 8*. On demande le volume et la • iurface de la meule.
50. L'hypoténuse d'un triangle rectangle est 6* ; l'un des angles aigus est de 30*. On lait tourner ce triangle successifement autour des deux côtés de l'angle droit ; trouTcr le volume et la surface de chaque c6ne ainsi obtenu.
S4. La hauteur d'un cône est 20", son volume 284**; trouver sa surface latérale. S2. Déterminer le volume et la surface d'un Ironc de cône dont la hautear =2*. r=7-,50, R = 8-,25.
23. On demande les dimensions, le volume et la surface de chacun des cônes dont ce tronc est la différence.
24. Le côté d'un cône est 25°* : la surface de sa base est 4*"^. On demande la sur» face du cercle dont le plan est distant do la base de 3"'^42.
25. Un côue dont le rayon de base = 2*", et la hauteur 4 5*, est coupée à 43* dn sommet par un plan paraiiéie à sa base; on demande le volume et la surface latérale du tronc de cône ainsi obtenu.
26. Le rayon de base d'un cône est 7 décimètres; sa hauteur = 4 ",80. On ouvre la surface de ce cône suivant une arête, et on la développe sur un plan. On demande le rayon et l'angle au centre du secteur circulaire ainsi obtenu.
27. On suppose qu'un baril soit formé do deux troncs de cône adossés par la grande base. Calculer sa contenance en litres sachant qu'il a 0*^78 de diamètre intérieur i la Ijjgpa e. O'BjOO de diamètre à chaque fond, et 0",96 entre les deux fonds.
28^ 29,'?0^31, 32^ 33^ 33 bis. On peut résoudre ici les problèmes 43, 44, 4 S» 46, 47,^ 48, f8 bis proposés à la fin du complément.
34. Démontrer que le rapport des surfaces de deux cylindres ou de deux côues semblables est égal au rapport des carrés des rayons de leurs bases on des earréi dt leurs hauteurs.
le rapport de leurs volumes est égal au rapport des cubes de ces dimension|t «
35. L'arête d'un cône étant 4 '"^80, calculera 0^004 prés les parties dans lesquelléi
elle est divisée par le cercle parallèle i la base qui divise la surface latérale du cône — en parties équivalentes.
