Toute section d^une sphère par un plan est un cercle

Soit ABCD l'intersection de la sphère par un plan. J'abaisse du centre une perpendiculaire 01 sur ce plan ; je joins le pied I de cette perpendiculaire à divers points A» B^ C, D du contour de la section; enfin je mène les ra^yons OA, OBy etc. Les triangles OIB, OIA, rectangles en I, ont l'hypoténuse OÂ=OB (rayons de la

sphère], le côté 01 commun; donc ils sont égaux et AI = IB. On démontre de môme que 1B = 1C = ID. La section ABCD de la sphère faite par un plan est donc un cercle dont le centre est en I, au pied de la perpendiculaire abaissée du centre de la sphère sur ce plan.

333. Remarques. Quand la section ne passe pas par le centre de la sphère, son rayon est moindre que le rayon de la sphère^ et d'autant moindre que le plan sécant est plus éloigné du centre

(Voy. le triangle rectangle OIA^etdiscutezrégalité OA^=Ô?+ Al ^ ou R^^cf^ + r^). De toutes les sections planes de la sphère, les plus grandes sont celles qui passent par le centre de la sphère; car chacune d'elles a pour rayon le rayon de la sphère (alors 01 oud = 0, r = R).

D'après cela, on nomme grands cercles de la sphère ceux qui passent par le centre de la sphère^ et petits cercles ceux qui ne passent pas par ce centre.

Les plans de deux grands cercles se coupent suivant un diamètre; leurs circonférences se divisent donc mutuellement en deux parties égales.

334. Par deux points A et B de la surface d'une sphère^ qui ne sont pas diamétralement opposés^ on ne peut faire passer çu^un grand cercle. En etiet, par ces deux points et par le centre O^ on peut mener un plan, mais ou n'eu peut mener qu'un.

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UVRK VU. 251

Supposons les deux points A et G (n* 323) situés à rextrémité d'un diamètre ; par la ligne droite AOG on peut faire passer une infinité de plans qui coupent tous la sphère suivant des grands cercles.

// faut trois points sur la surface <Pune sphère pour déterminer un petit cercle^

Théorèiiie*

555, Tout plan perpendiculaire à l'extrémité d'un rayon d'une sphère est tangent à celle-ci.

Je joins un plan quelconque B du plan au centre de la

sphère; Toblique OBest plus longue que la perpendiculaire OA. Tout point B du plan, autre que le point A, se trouvant à une dis« tance du centre plus grande que le rayon Ox\, est situé hors de la sphère. Le plan UN, n'ayant que le point A commun, avec la sphère, est tangent à celle-cL Réciproquement, tout plan tangent est perpendiculaire au rayon qui va au point de contact. £n effet, supposons le plan MN tangent à la S[)hère an point A; joignons le centre à un autre point B quelconque de ce plan. La ligne OB qui sort de la sphère est plus longue que le rayon OA; OA étant la plus courte ligne que l'on puisse mener du point sur le plan MN, est la perpendiculaire menée de sur ce plan.

CoROLLàiRB. Par un point donné sur une sphère, on ne peut lui mener qu'un seul plan tangent. Cela est évident, puisqu'on ne peut mener qu'un plan perpendiculaire au rayon qui va à ce point.

Théorème.

330. L'intersection de deux sphères est une circonférence dont le plan est perpendiculaire à la ligne qui joint leurs centres^ e^i dont le centre est sur cette ligne.

Imaginons un plan qui passe par la ligne des centres, OCÏ; ce

plan coupe les deux sphères suivant deux grands cercles AMBF, CNDF.

On peut maintenant supposer les deux sphères engendrées par la révolution des deux demi-cercles AMB^ GND qui tourneraient simultanément autour de la ligne AOO'D. Dans ce mouvement^ le.point F reste constamment commun aux deux lignes mobiles, et c'est le seul qui leur soit commun; la ligne que décrit ce point F est évidemment la ligne suivant laquelle se coupent les surfaces des deux sphères. Or cette courbe est plane^ puisque la ligne FI ne cesse pas en tournant d'être perpendiculaire à l'axe AD (n« 233); et c'est une circonférence, puisque toutes les positions du point F sont à la même distance IF du point I. L'intersection des deux sphères est donc une circonférence de rayon IF^ dont le plan est perpendiculaire à la ligne des centres^ 00', et dont le centre I est sur cette ligne. G. Q. F. D.

537. Remarque. En considérant deux circonférences dans les diverses positions relatives indiquées n** i02, liv. II, et les faisant tourner autour de la ligne des centres, on obtient des sphères dont les positions relatives sont tout à fait analogues à celles des ' circonférences. Les relations entre leurs rayons et la distance des centres sont donc, suivant les cas, exactement les mêmes que pour les circonférences.

Deux sphères sont dites tangentes quand elles n'ont qu'un point de commun. Ce point, qui se trouve sur la ligne des centres, se nomme point de contact.

f^ , 558. Des pôles. On nomme pôle d'un cercle de la sphère les

extrémités du diamètre de la sphère perpendiculaire au plan de ce cercle. '■-*''

539. Tous les points de la circonférence d'un cercle de la sphère sont également distants de chacun des pôles, P, P', de ce cercle. •^ En effet, les droites PA, PB, PC, etc., qui joignent le pôle P aux

divers points de la circonférence ADC, sont des obliques égales; car elles s'écartent également du pied de la perpendiculaire PI, (lA = IB = IC.) On a de mêiue PA = P'B = P'C.