LIVRE YH

Les arcs de grands cercles PA^ PB, PC, etc.^ qui passent par le

pôle P d'un cercle ABC et par les divers points de sa circonférence sont égaux, puisque leurs cordes sont éfçales. Si Ton considère un grand cercle DEF dont les pôles sont P et P', on peut remarquer, à cause de PO = OP' = OD, que Tare PD = VD; PDP' étant une demi-circonférence. Tare PD est un quadrant.

Les arcs de grards cercles, qui vont du pôle d'un grand cercle mx divers points de sa circonférence, sont des quadrants.

Pour un petit cercle, à cause de Pi < IF, l'arc AP < AF; AP n'est pas un quadrant ; AP' non plus.

540. Remarque. Si les arcs PD, PE qui joignent un point P de la sphère à deux points d'un arc de grand cercle, DEF sont des quadrants, ce point P est le pôle de DEF.

En eflfet, si l'on tire OD, OE, on voit que les angles POD, POE sont droits; donc P est l'extrémité du diamètre perpendiculaire au plan du cercle DEF; c'est un des pôles de ce cercle.

341* Les propriétés des pôles permettent de tracer sur une sphère des arcs de petits cercles ou de grands cercles avec la Xnéme facilité qu'on trace des circonférences sur un plan.

On emploie à cet effet un compas appelé compas sphérique^ disposé de telle sorte que ses pointes peuvent être inclinées Tune vers l'autre sous un angle quelconque. L'une de ces pointes étant maintenue fixe au point P de la surface d'une sphère (Bg.précéd.), l'autre posée d'abord au point A, décrit, en tournant sur cette surface, une circonférence de cercle. En effet, on peut concevoir une seconde sphère dont le centre serait le point P et le rayon PA; tous les points de la courbe ABC appartiennent à la surface de cotte seconde sphère; cette courbe ABC est donc l'intersection de la sphère proposée et de celte sphère PA; ABC est donc une circonférence de cercle dont le plan est pei pcndiculaire au rayon OP, dont le centre est sur cette ligne, et qui a le point P pour pôle (n» 336). On a vu que l'arc de grand cercle qui va du pôle d'un grand cercle à sa circonférence est un quadrant, et qu'il n*en est ainsi que pour les grands cercles.

su GOTIRS DE GtoMÊTRIE.

Pour décrire tro «prand cercle, d'un point donné P de la «fflière comme pôle» il suffit donc de donner au compas spbérique une ouverture égale à la corde d'un quadrant de grand cercle. Pour oon« naître cette corde, il faut connaître le rayon de la sphère.

Problème.

542. Étant donnée une sphère solide, construire son rayon. On prend deux points, A, B, à volonté sur la surface de la

sphère; du point A comme pôle avec une ouverture de compas sphérique quelconque, on décrit un arc de cercle; du point B avec la même ouverture de compas, on décrit un second arc de cercle qui coupe le premier en D. On répète encore deux fois la même construction en changeant Touverture du compas; ce qui fournit deux autres points E, F, dont chacun est, comme le point D, également distant des points A et B. Gela fait, on mesure avec le compas sphérique les trois distances recti» lignes DE, DF, EF ; on construit sur un plan un triangle ayant ces trois longueurs pour côtés. Enfin, on détermine le rayon du cercle circonscrit à ce triangle; ce rayon O'D eM celui de la sphère.

En effet, les points D, E, F, également distants des points A et B, appartiennent au plan perpendiculaire à la ligne AB en son milieu (n** 240) ; ce plan passe par le centre de la sphère (point également distant de A, B); il coupe donc la surface de la sphère suivant une circonférence de grand cercle, sur laquelle se trouvent les points D, E, F. Le triangle que formeraient les droites DE, DF, EF intérieures à la sphère, est donc inscrit dans un grand cercle; c*est ce grand cercle que nous reproduisons sur un plan.

EXERCICES

Lieux géométriques.

85. Lien des fiiedf des perpendiculaires abaissées d'un point exlériear à qd pUa lar toutes 1« droites menées dans ce plan par un point donné.

66. Lieo des points de Tetp^ce, tels que la somme des carrés de* diitaaees de ^acnn d'eux i deux poinls fixes est égale à un carré donné.

57. Lieu des points de l'espace tels que les distances de chacun d'eux à deux points fixes sont dans un rapport constant.

58. Lien des poinu de l'espace également éclairés par deux lumières fixas dont les intensités à l'unilfé de distance sont dans le rapport de 4 à 3,5. (L'intensité d*une lumière tarie en raison inverse du carré de sa distance au point lumineux.)

59. Lieu géométrique des centres des sections faites dans une sphère par des plant

qui passent — par un point donné.