LIVRE VIT

ëe feirereraarqnerqae les angles opposés parlesommet sont formés parles même» grands cercles ; que les angles dièdres adjacents sont supplémentaires, ete.

. On appelle polygone sphérique une partie de la surface de la sphère terminée par des arcs de grands cercles.

Ces arcs que nous supposerons moindres que des demicirconférences, sont les côtés du polygone : leurs angles sont les angles du polygone; leurs points de rencontre en sont les sommets, Nousâupposerons aussi les polygones convexes, c'est à-dire tels que Tun des arcs prolongés laisse toute la figure du même côté.

3«t. Le plus simple de tous les polygones sphérlques est le triangle. Un triangle sphérique est rectangle , isocèle ^ équilatéral, dans les mêmes cas qu'un triangle rectiligne.

(. A chaque triangle sphérique, ABC, correspond un angle solide triiâre OABC, formé au centre de la sphère par les plans des arcs de grands cercles AB, AC, BC, qui forment le triangle.

Les angles pians AOB, AOC, BOC de ce trièdre on pour mesure les côtés du triangle; les angles dièdres du trièdro sont précisément égaux aux angles du triangle. Il résulte de là que si deux triangles sphériques sont égaux dans toutes leurs parties, il en est de même des tri èdres correspondants, et réciproquement.

s«4. A chaque polygone sphérique correspond de même un angle polyèdre auquel s'applique tout ce que nous Yenoat de dire.

Tbcorcinc.

Deux triangles sphériques qui ont les côtés égaux chacun à chacun sont égaux dans toutes leurs parties, c*est-à-àire ont les angles égaux chacun d chacun.

En e£ret, les angles triëdres qui correspondent à ces triangles ayant leurs angles plans respectivement égaux, ont leurs dièdres égaux chacun à chacun (n* 271); donc les angles des triangles sphériques, respectivement égaux àees dièdres, sont égaux chacun à chacun.

>. De même que deux angles triôdres égaux dans toutes leurs parties ne peuvent pas toujours coïncider (n*> 272), de même deux triangles sphériques» égaux dans toutes leurs parties, ne coïncident pas né:essairen>ent. Il faut, pour qu'ils puissent coïncider, que leurs parties égales soient semblablemciit disposées.

••«. Étant donnés un triargle sphérique ABC et le trièdre correspondant, si l'on prolonge les arêtes AO, BO, GO de celui-ci jusqu'à la sorfsce de la sphère en À', B' C, on détermine un nouveau triangle A'B'C» dont tousr lea

éléments lont évidemment égaux à ceux du triangle ABC (angles et cAtés).

Néanmoins, il est impossible de faire coïncider les deux triangles; en effet, si

les deux triangles coïncidaient, les plans des côtés coïncidant en même temps, les deux trièdres coïncideraient ; ce que nous avons démontré impossiblOi n* 272.

\. On appelle triangle sphériques symétriques deux triangles qui, ayant leurs éléments égaux chacun à chacun, ne peuvent pas coïncider.

On peut encore obtenir, comme 11 suit, un triangle sphérique symé-

trique d'un triangle donné ABC. Du point A comme pôle, avee une ouverture de compas égale & la corde de AG, Je décris un arc CmC; du point B comme pôle, Je décris l'arc CnC; Je Joins ie point A et le point U au point C par des arcs de grands cenies; te triangle ABC' ainsi formé et le triangle donné ABC ont évidemment les trois côtés égaux; Ils ont donc aussi les angles égaux. Cependant il est en général impossible de les faire coïncider ; ils ne peuvent coïncider que si AG = BG, et par tnite AG'=rBG'. Les trièdres correspondants sont situés de part et d'autre de la face commune OAB (0 centre de la sphère) : si l'on essaye de ramener Tan d'eux du même côté de ce plan que l'autre, on trouve que les faces égales sont diversement disposées. Si l'on essaye de faire coïncider directement les deux triangles sphériques, en faisant tourner i'un d'eux autour du côté commun AB, Il arrive que les concavités se regardent, ou que les convexités se trouvent adossées l'une à l'autre; la coïncidence est impossible.

999. 11 résuite de ce qui précède que les propositions qui concernent les éléments des angles solides, trièdres ou polyèdres, s'appliquent aux éléments des triangles ou des polygones sphériques.

Tliéorèiiie.

s VI. Un côté quelconque éCun triangle sphMque est plus petit que la eomme des deux autres.

Je trace les rayons OA, OB, OC; dans l'angle trièdro OABC, on a l'angle AOB< AOC + BOG; en remplaçant les angles par les arcs qui les mesurenty on trouve AB< AG+BG. G. Q. F. D.

iiVBE yiu 273

Théorème.

s V9. La somme des côtés d'un triangle ou d'un polygone sphérique eit moiA dre qu'une circonprence de grand cercle.

En effet, si l'on considère l'angle solide correspondant au triangle ou au polygone, de ce que la somme des angles plans de cet angle solide est moindre que quatre angles droits (n" 270), on conclut que la somme des côtes du polygone qui mesurent ces angles, est moindre que quatre quadrants ou une circoniérence.

s 9 S . On démontre aisément par la superposition, comme on Ta fait pour 168 triangles rectilignes, les ttiéorèmes suivants :

Deux triangles sphériques sont égaux dans toutes leurs parties quand ils ont un angle égal compris entre des côtés égaux chacun à chacun.

L'on de ces triangles peut coïncider avec Vautre ou avec son symétrique.

Deux triangles sphériques sont de même égaux dans toutes leurs parties quand ils ont un côté égal adjacent à des angles égaux chacun à chacun.

On démontre encore, comme dans le premier livre, les tliéorèmes suivants :

Dans un triangle sphérique isocèle^ les angles opposés aux côtés égaux sont égaux.

La réciproque est vraie.

Dans tout triangle sphérique, le plus grand côté est opposé au plus grand ::ngle, et réciproquement.