TRIANGLES POLAIRES OU SUPPLÉMENTAIRES

S 9 4. DÉFINITION. Un triangle sphérique étant donné, si des points A, B, C,

comme pôles, on décrit les arcs de grands cercles B' O, A'C, A'B', ces arcs forment un triangle A'B'C' qu'on appelle le triangle polaire de ABC. \

Le sommet A' homologue du point A, est déterminé par la rencontre des arcs décrits de B et de G comme pôles; ces arcs A'C, B'A', se coupent en deux points; mais on ne prend que le point qui est avec A sur la | sphère du même côté de BG prolongé des deux parts; \ ne même pour les autres sommets.

Tliéorème.

99 B, Si le triangle A'B'C' est le polaire du triangle ABC, réciproquement ABC est l9 polaire de A'B'C {flg. précédente).

En effet, le point B étant le pôle de A'C', l'arc de grand cercle qui joindrait B et A' serait un qoadrantr de même G étant le pôle de A'B', l'arc G A' serait an

27A COUR» DE GîtoMÊrniE.

(luadrant; le point X\ étant distant d'un quadrant de deai pointa S et G de Tare BC, est le pôle de cet arc (n* 340). Oo démontrerait de même que B' est le pôle de ÂC, et G' le pôle de AB.

Tbéorènic.

S9f0. Étant donnés deux triangles polaires ADC, A'B^G', chaque angle de Vun de ces triangles a pour mesure une demi-circonférence moins le côté opposé de taufre triangle.

Prolongeons les côtés de ABC jusqu'à rencontrer ceux de A'B'G'. Le point A

étant îe pôl/î de HT/, l'angle A a pour mesure FG. B' étant le pôle do AC, B'G est en quadrant; G' étant le

pôle de AD, C'F est un quadrant; donc B'G + C'F = r

circonférence. Si l'on décompose G'F en GC' + FG, cette

égalité devient B'G + GG' + FG = B'G' + FG = i circon-

férence; d'où FG = ^ circonférence — B'G'; mais FG me-

lure l'angle A: donc l'angle À a b>en pour mesure une demi-circonférence moins le côté opposé du triangle polaire. On démontrerait de même pour les angles B et G.

Considérons l'angle A' qui a pour mesure l'arc ED décrit de son sommet comme pôle. Le point G étant le pôle de l'arc A'B', GE = 1 quadrant; de même

BD=1 quadrant; donc CE + BD = - circonférence; ou, en décomposant BD,

CE 4- CD + CB ou ED + BC = - circonférence; d'où ED = ^ cire. — BC ; mais

ED est la mesure de l'angle A': donc celui-ci a la mesure indiquée.

SI Ton considère les deux angles triëdres correspondant respectivement aux triangles ABC, A'B'C', on trouve que les angles plans de l'un sont les suppléments des dièdres de l'autre, et réciproquement.

Ces deux trièdres sont donc supplémentaires (V. l'Appendice du livre V.)

Tlicorèmc.

su 9, Deux triangles sphériqnes qui ont les angles égaux chacun à chacun sont égaux Mns toutes leurs parties.

En ed'et, les triangles polaires des triangles proposés ont les côtés ^gaux chacun à chacun, et par suite les angles égaux (n<' 365); de l'égalité de ces angles résulte celle de leurs suppléments, qui sont les côtés des triantes l^opoiést