Valeurs de tu. -— et 3,1416 sont les valeurs qu'il faut

employer généralement dans les applications.

On peut employer ces valeurs ordinairement, et sans discussion préalable, même dans les calculs qui exigent une assez grande précision. Il est rare qu'elles ne fournissent pas dans la pratique une approximation suflBisante. C'est ce que nous allons montrer.

tu. Première valeur, tt = -=- ^^ ^ + 7 •

Cette valeur est trop grande ; Terreur relative est moindre

que ôTôT- C'est-à-dire qu'en employant — au lieu de n comme

multiplicateur ou comme diviseur, on commet une erreur moindre que la 2484»^'»^ partie du résultat. S'il s'agit d'une capacité par exemple, l'erreur est moindre qu'un litre tant que cette capacité est inférieure à 2484 litres ; sur la contenance d'une pièce de 230 à 240 litres , Terreur commise à propos de tc serait moindre qu'un décilitre. Cette approxi-

fi APPLICATIONS DE LA GÉOMÉTRIE.

mation sufSt dans beaucoup de cas; c'est pourquoi on prend

7c = Y dans un grand nombre d'applications vulgaires {*).

Correction du résultat. Mais cette valeur si commode de TU peut être employée beaucoup plus souvent qu'on ne le fait habituellement. En eflfet, quand rapproximation précédente ne suffit pas , on peut faire au résultat cette correction très-simple : on le diminue ou on t augmente des 0,0004 de sa valeur, suivant que ^Y^ a été employé comme multiplicateur ou comme diviseur. Le résultat corrigé est le nombre cherché avec une erreur moindre que la 388000**^ partie de sa valeur (**).

Cette approximation suffit dans la généralité des applications.

On peut donc prendre ir =— , m^me dans les calculs de précision,

ts. Seconde valeur. ir = 3,1416.

Cette valeur est trop grande, l'erreur relative est plus

petite que (***), c'est-à-dire qu'en employant 3,1416 au

L'erreur relative .' .■„^ — est moindre que r-rrj-

(**) 0,0004 — 2^^^ ; 24g4 — 2500 "" 2484 X 2500 ~ 388125' Quand ir est multiplicateur, l'erreur en plus commise d'abord est plus grande que la 2500**"* partie ou les 0,0004 du résultat. On la diminue de ces 0,0004, il y a encore une erreur en plus moindre, d'après l'égalité précédente, que la 38S000'^* partie du nombre cherché.

L'erreur relative jj^^^^^ est moindre que ^j^.

(***) L'erreur commise en plus, avec ir = 3,14l6 pour multiplicateur, est plus

petite que — — —• ; en diminuant le résultat du quart du cent-miUième de 424000

DES VALEURS APPROCHÉES DE ic. 28

lieu de « pour multiplicateur ou pour diviseur, on commet une erreur moindre que la 424000^®"»® partie du résultat cherché. Cette approximation est généralement suffisante.

Correction. On peut d'ailleurs corriger très-simplement le résultat obtenu avec 3,1416. // svffi,t de le diminuer ou de r augmenter du quart du cent-millième de sa valeur , suivant qu'on a multiplié ou divisé par ce nombre. Le résultat corrigé est approché à moins de la 7000000^^°*® partie de sa valeur (**).

»o. Évaluation facile de l'erreur. Ayant employé — ou

3,1416 on peut, à la simple inspection du résultat y se faire une idée assez précise de l'approximation obtenue. Vçici ce qui résulte des considérations précédentes d'après le 2« principe fondamental de la théorie des erreurs relatives {Arithmétique).

Avec -n: = ^^ sans correction, l'erreur absolue est toujours moindre qu'un tiers de l'unité du 3* chiflFre du résultat, à partir du 1" chiflFre significatif à gauche; elle est moindre qu'une unité du 4® chiflfre quand les quatre premiers chiffres ne font pas 2484.

Avec tt = ^Vt ^^ ^^ correction, Terreur est toujours moindre qu'un tiers de l'unité du 5® chiflFre du résultat; elle est moindre qu'une unité du 6® chiflFre quand les six premiers chiflFres ne font pas 388000.

Avec tz = 3,1416 sans correction , l'erreur est toujours moindre qu'un quart de l'unité du 5® chiflFre ; elle est moindre qu'une unité du 6® chiflFre quand les six premiers chiflFres ne font pas 424000.

Avec tu = 3,1416 et la correction, l'erreur est toujours moindre qu'un septième de l'unité du 6® chiflFre; elle est moindre qu'une unité du 7* chiflFre quand les sept premiers chiflFres ne font pas 7000000.

«t. Conclusion. La 388000»^ partie ou la 7000000^^ partie du résultat est une quantité négligeable dans la géné-

sa valeur^ on a un nouveau résultat trop petit , mais l'errenr en moins est plus

24 APPUGATIONS DE LA GÉOIIÈTRIB.

ralité des applications. On fera donc bien, en général, de

prendre it= —ou it = 3,1416, sans discussion préalable,

même dans les cas où l'approximation serait fixée d'avance. Le calcul terminé, on peut voir aisément, d'après ce que nous venons de dire, si l'approximation obtenue est suffisante. Souvent la correction ne sera pas nécessaire ; dans le cas contraire, on la fait très-simplement. Après la correction, on aura, en général, l'approximation voulue. Il s'agit ici de l'approximation qui suffit dans les applications usuelles, et non d'une approximation abstraite ou de fantaisie.

Dans les cas excessivement rares dans la pratique, où un résultat approché surpasserait 388000 ou 7000000 fois l'unité d'approximation, on serait quitte pour employer exceptionnellement une valeur plus approchée de tc.

»». Voici, à propos de tc, des nombres utiles à connaître, log7c=0,4971498; log ^ /c = 0,0200286 ; log 5 tu = 0,6220886

log ^ = \/T . 7199986 , log ^ TU = T, 8950898.

Quand on prend tt = 3,1416.

i7r = l,0472; ^7r = 0,5236; |ir = 4,1888; ^7c=0,7854.

«8. Emploi de - = 0,31830988619016,

Quand on emploie une valeur décimale de tc, il est souvent plus commode de multiplier par le quotient - évalué d'avance

en décimales, que de diviser par 3,1416. En prenant -=0,31831

(par excès) , on commet sur le résultat une erreur moindre que la 1500000»^»»« partie de sa valeur.