PROBLÈMES A RESOUDRE
« 1. Trouver la hauteur d'an cylindre qui contient 400 hectolitres et dont le rayon de base est 0",8. Réponse. 19"",894.
On prend pour unités le litre et le décimètre.
2. On plonge dans un liquide à 0"* un cylindre de fer dont le rayon est 0",05 et la hauteur 0'",2. Ce cylindre pèse dans le liquide 9*«; la densité du fer est 7,788. Quelle est la densité du liquide? Réponse. 2,058.
Le poids du cylindre dans l'air est 12'^«,233; il perd donc dans le liquide 3'^,233. n perdrait dans l'eau 1^«,570796. ^^
>^3. Le rayon intérieur d'une tour ronde est 1",15; son épaisseur 0",15, et le volume de la maçonnerie 44'"%4677. Trouver sa hauteur. Réponse. 38",515.
(Le volume est la diiTérence de deux cylindres dont les rayons sont 1,3 et 1,15
nous avons employé - =0,31831.)
Remarque. L'équation de ce problème est 44,4677 = ic X [(1,30)* — (1,15)^].
On doit ici remplacer la différence des carrés par le produit de la somme des deux nombres par leur différence. On simpUfie souvent ainsi les problèmes de ce genre.
4. La densité de Targent est 10,47; celle de Tor 19,26. On veut recouvrir d'or à une épaisseur de 0,0002 un fil cylindrique en argent de 0*^,0015 de diamètre, pesant 3», 2875. Trouver le poids de l'or à employer.
Soient œ la longueur du fil et y le poids cherché. Les unités sont le gramme et le centimètre.
i ica;(0,I5)2 X 10,47 = 3,2875.
j iîa5[(0,n)2 - (0,15)»] 19,26 = 1/.
$t JMilGATlOlfS DB LA GÉOMÉTRn.
|.ica5[(0,17 + 0,15) (0,17 -0,15)]19,26 = y.
- 1CX X 0,0064 X 19,26 = y.
Or < 3,2875 ^. 32878X0,0064X 1926
^' 4^=(0,15)txl0,47 ^^"^^ î^= 225X1047
Nou8.jremarquon8 que 32875 et 225 sont diTisiblee par 28; de même 1926 et 328 sont divisibles par 9; car 9 X 28 = 225; ^donc 1318X0,0064X214
Réponse, 1«,7201.
Nous avons résolu ce problème à cause des simplifications que nons voulons faire remarquer. Par exemple, nous n'avons pas calculé x à part; nous avons pris sa valeur pom* la substituer, et n s'est trouvé éliminé.
V5. Un Ttte cylindrique en métal a 31'" de hauteur et 50'" de diamètre intérieur. Ses parois ont 1'" d'épaisseur, et leur densité est 7; trouver le poids en grammes. Réponse. 17213 grammes.
jwX 31X(512— 50»)X7=aî ou | ic X 31 (51 + 50) (51— 50) X 7 =x,
ou 0,7854X31X101X7=0?. •
(Nous avons pris tc = 3,1416, et fait la multiplication abrégée). Trouver en centimètres la hauteur de la partie du vase qui serait immergée si on le plongeait dans Teau. Réponse 8'",7668.
i 11.35.508 = |-ic.3lX 101X7 ou aî.2500= 31X101X7.
^6. Le diamètre intérieur d'un vase cylindrique est0",175; il est posé sur on plan horizontal par son fond circulaire; on y verse 21^ de mercure dont la densité est 13,59; on demande la hauteur du mercure. Réponse, 0",0642.
7. Trouver le diamètre dMn fil de platine pesant 28 granmies par mètre de longueur, la densité du platine passé à la filière étant 21,04.
Réponse. 0",01301. (Nous avons pris tc = 3,1416.) Ce calcul peut se faire simplement par logarithmes.
8. Un litre est en zinc dont la densité est 7,19; sa hauteur est double du diamètre de la base; Tépaisseur du métal est O^'jOOS. On demande son poids.
On connaît le volume intérieur du litre qui est 1000 centimètres cubes; en
déterminant le volume du cylindre plein, on aura le volume réel du zinc en
retranchant le vide du plein. Nous savons d*ailleurs que le diamètre intérieur x du
t litre donné par Téquation ^nx^=: 1000 est 8'",60254 (p. 37). Le diamètre total
du plein, x + i = 9— ,60254; la hauteur totale, 2x + 0,6 = 17,70508. Le
volume total est donc jn x (9,60254)» X 17,70508. En évaluant ce volume
par logarithmes on trouve 1283''"%21. En retranchant 1000, on trouve pour le volume du zinc, 282'"%21. Le poids est 282,21 X7,19. En effectuant, on trouve 2029»^ ou 2"«,029, à un gramme près.
PROBLÈMBB PROPOSÉS AUX EXAMBÎTS. 53
9» Un vase cylindrique a 0'",25 de rayon. On y verse 30^« de mercure dont la densité est 13,59, puis 490<^ d'alcool dont la densité est 0,79. On demande la hauteur de la colonne liquide.
Réponse, Hauteur du mercure, O^^Oll ; hauteur de l'alcool, O^jOCS. Total, 0",014.
10. Un vase cylindrique, dont le diamètre est 0^,315, a été rempli d'eau. Giaq jours après il faut verser 4^^,220 pour compenser l'ôvaporation. On demande la hauteur de la colonne évaporée.
Réponse. O'",05549. (Nous avons pris le dm et le Kg pour unités, et 7c= 3,141&.)
11. Trouver la hauteur d'nn cylindre de laiton, sachant que son poids est 50^», la circonférence de sa base O^jôSO, el la densité 8,44. Réponse 8",1762.
12. Un gramme de mercure occupe à 0" une longueur de 0'*,137 dans un tube capillaire; la densité du mercure est 13,596. Trouver le diamètre intérieur du tube. Réponse. 0»,0008268.
13. La hauteur d'un cône droit est 20"; son volume 387"". Déterminer par un plan parallèle à sa base un cône partiel dont le volume soit 95*". On demande l'arête du cône partiel.
14. L'arête d'un cône circulaire droit est 30"»,4S; la hauteur 25'",55.*Galculerpar logarithmes la surface latérale et le volume du cône.
Le rayon étant trouvé, on applique les formules qui sont logarithmiques.
Réponse, Le volume est 287'"%350. La surface est 1584""»,63.
15. Étant donné un cône dont la hauteur est 6" et le rayon de base 4", on le coui>e par un plan parallèle à la base, à 2" de distance du sommet. On demande la surface latérale et le volume du tronc de cône.
Réponse. Sa surface latérale est 80'"i,66 ; le volume 96'"%807. (Nous avons
employé — avec la correction.)
16. La hauteur d*un cône est 10*", le rayon de sa base 5". On demande à
quelle distance de la base il faut mener un plan parallèle pour que le volume du tronc de cône soit 20"".
V = Vs Tzy (52 + œs + 5a5) =: 20.
w AO y 10
-^ = — , ou — 2 — r= —
OK GO' 5 — œ 5
ou ,J— rri^ = 2; i/ = 2 (5 - x);
^ V=? 11(58 —a;8) =20; 53-.a;8==: ?2j a;3=53 19. B 3 TC w
aî = 4,«6; i/ = î(5-a;)=2x0,14=:0-,28.
Réponse. O^jîS. (Nous avons pris ir = 3,1416.)
17. Un liquide, dont la densité est 1,82, remplit un vase ayant intérieurement la forme d'un tronc de cône dont la hauteur est 0",20 el les rayons des deux bases 0",2 et 0",V5. Déterminer le volume et le poids de ce liquide.
FormuUs. !• V = j « X 2 [2« -f (1,5)^ -f 2 X 1,5] ; 2- P = V X, 1,82,
les unités étant le Dm et le Kg Réponse. 19S373; poids 35^<^,259.
18. La surface cPun secteur circulaire est 3"',18 ; son angle au centre 54*18'; on demande, à moins de 0",(K)1 le rayon de la base d*un cône circulaire droit dont ce secteur est le développement de la surface latérale sur un plan,
18 bis. On trace un arc concentrique à celui du secteur précédent avec un rayon moitié moindre. La partie inférieure du secteur est le développement delà surface latérale d^un tronc de cône. On demande le volume de ce tronc à O^'^OOl près.
19. Le vide intérieur d^un vase conique a 0"';6 de hauteur, pour diamètre à l'ouverture 0'",4, et au fond 0'',3; le vase contient jusqu'au bord de la poudre destinée à remplir des obus dont le diamètre est 0'",10. Combien pourra-tron remplir d'obus?
Si Ton prend pour unité le décimètre, tous les nombres deviennent entiers.
Vol. du vase : - ir X 6 (2« + (1,5)» + 2 X 1,5); vol. d'un obus : - ic.
