SECTIONS CONIQUES

Nos lecteurs ont dû remarquer qu'il y a entre l'ellipse, l'hyperbole et la parabole beaucoup d'analogies, de nombreuses propriétés communes. Cela tient à ce que ces trois courbes ont une origine commune que nous allons faire connaître.

On obtient ces trois courbes en coupant un cône droit par un plan. L'intersection est une ellipse , ou une hyperbole , ou une parabole , suivant que le plan sécant rencontre toutes les génératrices du cône du même côté du sommet , on les rencontre de côtés différents , ou enfin est parallèle à une des génératrices..

!•' Cas. Ellipse (fig. 46). Le plan sécant AMA' rencontre toutes les génératrices du cône du même côté du sommet S (flg. 46). Menons par l'axe SO du cône un plan principal ASD perpendiculaire au plan AMA'. Soient AA', SA et SD les intersections du plan AMA' et du cône par le plan principal ASD. Traçons les cire. OB et O'B' tangentes aux trois droites SA, SD et AA' dans l'angle ASD. Appelons F et F' les points de contact de AA' et de ces cercles. Imaginons que la génératrice SD et les deux circonférences et C fassent une révolution entière autour de l'axe SO. SD décrit la surface conique , les cire. et 0' décrivent deux sphères et C, et les points C et C des cire, parallèles CNB, C^N'B^ Considérons maintenant un point quelconque M. de la

SECTIONS CONIQUBS.

courbe d'intersection AM du plan AMA' et du cône. Menons MF, MF et la génératrice SM du cône. Les droites MF, MN tangentes à la sphère © en F et en N sont égales ; 1m droites MF*, MN' tangeotesàla sphère 0* Bout aussi égales (').

Par suite, MF+MF'=MN MN' = NN' = BB', distance constance des deux cercles CNB, C'N'B', mesurée sur une génératrice.

La courbe AMA' est donc une ellipse dont les points F rt F' sont tes foyer».

A et A' sont des points de la courbe. En effet, AF = AB et A£' =AB'; AF + AF' = AB + AB' = BB' = MF + MF'. De mâme pour le point A'.

On vérifie aisément que DA' = FP'. AA'=MP+MF'=2a.

»0. 2" Cas, Hyperbole. Le plan sécant A'M'AM rencontre les génératrices du cône des deux côtés iu sommet S (coupe les deux nappes) (flg. 47). Menons par l'axe SO' un plan principal A'SIV perpendiculaire au plan A'M'AM, et soient AA', ASD', A'SD les intersections du plan A'M'MA et du cône avec ce plan principal. Traçons deux circonf, et 0' ajant leurs centres sur OSCy, tajigentes à la droite AA' et aux génératrices SA', SD'. Appelons F et P les points de contact de ces circonf. avec AA'. Imaginons que la génératrice SD' et les circonf. et 0' fassent ensemble une révolution entière autour de SO. Tandis que ASIK engendre la surface conique, cire. et cire. Ô'

(Fig. «.)

f08 coMPLÉuirr db u oÉoMânuB.

engendrent deux sphàres et O* , et les points de contact B et O deux circonférences paraUèles BNC, CNB'.

CoQsidérona maintenant un point quelconque M' de l'intersection A'M'AM du plan considéré et du cône. Traçons M'P, M'F' et la génératrice SM' du cône qui rencontre en N et en N' les cercles parall. BNC, B-N'C (*).

Los droites M'F', M'N' tangentes à la sphâre O* sont égales; M'F et M'N tangentes à la sphère sont égales. Par suite M'F — M'F = M'N — M'N' =NN' = BB' distance constante des circonfér. BNC, B'N'C (mesurée sur une génératrice}, La courbe A'M'AM est donc une hyperbole dont f*"'»- "•> les foyers sont F' et F.

A et A' sont des points de la courbe. En effet, A'F' = A'B' ; A'F=A'B; par snite A'F— A'F' = A'B — A'B'=BB' = M'F — M'P'. De même pour le point A. A et A' sont les sommets de l'hyperbole. AA' = M'P — M'F = 2a.

tl. 2' Cas. Parabole. Le plan sécant MAA' est parallèle à génératrice SC du cône (flg. 48). Menons par l'axe SO un plan principal ASC perpendiculaire à MAA'; soient AA', SA et scies intersections du plan MAA' etdacôneayecleplanASO. Traçons la circonf. OB tangente à AA' en F et aux droites SA et se en B et en 0. Imaginons ensuite que la génératrice SG

(*] Lw rayons 0? perpeadiculairea à AA' dans le plan ASD aonl perpendiculaires au plan AMA' ; ce pUn eit donc langent aux sphères el C. Pai Buile , MF, 10* (ont def laogenles à ces sphèret.