LIVRE I

Tliéoi'ème.

-f 47. Deux triangles rectangles sont égaux quand ils ont Vhypo^ ténuse égale et un angle aigu égal (fig. précéd.).

Ex. : Les deux triangles rectangles BAC, DEF qui ont l'hypoténuse BC = DF et i'arigle B = Tangle D sont égaux. Pour le démontrer, je superpose DEF à BAC en plaçant Thypoténuse DF sur BG, le point D en B et le point F en G. L'angle D étant égal à l'angle B. le côté DE prend la direction BA. Les deux côtés FE, GA sont alors deux perpendiculaires à la même ligne BA, issues du même point G; ces deux côtés coïncident, puisqu'on n^peut abaisser qu'une perpendiculaire du même point sur la même droite. Les trois côtés coïncidant, les deux triangles coïncident et sont égaux.

Tliéorènic.

49.1* Tout point de la hisseclrice d'un angle est également distant des côtés de cet angle,

2" Tout point pris à Vintérieur d'un angle hors de sa bissectrice, rCest pas également distant des deux côtés de Vangle,

1* Soit BÂC un angle donné et ÂM sa bissectrice, c'est-à-dire la ligne qui le

divise en doux parties égales. Du point D pris quelconque sur k^ j'abaisse les perpendiculaires DE IJI, sur les côlcs AU, ÂC. DË=DI. Eu

effet, les triangles rectangles AED, AID ont l'hypoténuse AD commune, l'angle ËAD=1AD par hypothèse (AM bissectrice); ces deux triangles rectangles sont donc égaux ; par suite DE=DI-

2* Soit mai ntenanUe point H pris dans l'intérieur de l'angle BAC, lioiflÉhi bissectrice. J'abaisse les perpendiculaires H07 OT, dont Tune HO rencontre la bissectrice en F; je dis que la distance IIK est plus petite que 110. Pour le démontrer, j'abaisse du point F la perpendiculaire FG sur AC et je tire HG. D'après !•, FG=F0; or dans le triangle HGF. on a HG< HF + FG : ce qui retient à HG<HF-f FO, ou HG < HO' Mais si HG est < 110, à fortiori 11K< HO, puisque HK perpendiculaire à AG est plus petite que HG oblique; HK<110. C'efet c« qu'il fallait démontrer (*).

(*) Quand l'angle BAC est obtus, la flgure, dans le 2* cas, peut se présenter ainsi. Mais alors la perpendiculaire HK à AC, |>I*js petite que Hl» oblique, est, à fortiori, plus petite que HO.

LiEB GifoiiéTRiQUE. La bissectrice d'un angle est donc le lieu géométrique de tous les points de Vintérieur de cet angle également distants de ses côtés,

EXERCICES

Théorèmes à démontrer,

47. Oq appelle kautewà*uii triangle la perpendiculaire abaissée d*on sommet sur le rdlè opposé.