LIVRE I

Si les deux obliques inégalement distantes du pied de la perpendiculaire sont situées de côtés ditférents de celle-ci , comme Al et AF, on prend du côté de Aï une longueur ED=EF, et on tire AD qui est égale à AF. Or AD est plus courte que AI; donc aussi AF < AI.

45. Corollaire. Réciproquement, deux obliques égales s'écaV'ient également du pied de la perpendiculaire.

De deux obliques inégales, la plus longue s'écarte le plus du pied de la perpendiculaire'

En effet, il résulte des théorèmes précédents, n» 42 : i^ que deux obliques ne sont égales que dans le cas où elles s'écartent également du piod de la perpendiculaire j 2* qu'une oblique n'est plus longue qu'une autre que dans le cas où la 1" oblique s'écarte plus que l'autre du pied de la perpendiculaire.

44. Remarque. D'un point pris hors d'une droite on ne peut me* ner à cette ligne plus de deux droites égales entre elles.

Considérons en effet trois droites quelconques allant du mémo point à la même droite. Ou bien Tune des trois lignes est perpendiculaire à la droite et ne peut pas être égale aux deux autres; ou bien toutes les trois étant obliques, il y en a au moins deux situées du même côté de la perpendiculaire, s'écartant inégalement du pied de celle-ci, et par suite inégales.

Tliéorèiue.

4» 48. Si on élève une perpendiculaire au milieu d'une droite don* née\: 1* tout point de la perpendiculaire est également distant des extrémités de la droite ; 2* tout point pris hors de la perpendicutaire est inégalement distant des extrémités de la droite, i* Soit AB perpendiculaire à la ligne BG en son milieu D; je

joins le point E, pris quelconque sur AD, aux extrémités B et C de la ligne B&:

EB=EG. En effet, EB, EC sont deux obliques qui s'écartent également du pied de la perpendiculaire (n"42, 2°).

2** Soit le point I situé hors de la perpendiculaire : IG est plus petit que 18. Pour le démontrer, je joins le point H, où IB ren*

contre la perpendiculaire, au point C. D'après 1', HC=HB; mais dans le triangle IGH, on a IC<UI-|-HG; ce qui revient à IG<IH + HD, ou IC<IB; ce qu'il fallait prouver.

Lieux géohbtriques. {Définition.) Une ligne ou une surface sur laquelle se trouvent tous les points qui jouissent d*une môme propriété^ qui satisfont tous à la même condition déterminée^ est ce qu'on appelle le lieu géométrique de ces points.

Exemple. La perpendiculaire élevée dans un plan au milieu d'une droite est le lieu géométrique des points du plan également distants des extrémités de cette droite.

EXERCICES

46. Les perpendiculaires aux milieux des c6i6s d'un triangle concourent au même point. •

Égalité des triangles rectangles. Outre les cas ordinaires» on distingue pour les triangles rectangles deux autres cas d'égalité que nous allons indiquer.

Tliéorème;

4C. Deux triangles rectangles sont égaux quand ils ont Vhypoié^

nuse égale et un autre côté égal.

Ex. : Les deux triangles ABC, DEF qui ont ThypoténuseBC = DF

et le côté BA = DE sont égaux. Pour le démontrer, je superpose DEF à ABC en plaçant le côté DE sur son égal BA, le point D en B, et le point E en A. L'angle droit E étant égal à l'angle A, le côté ^ prend la direction AC. Le point D étant d'ailleurs en B, les deux hypoténuses DF, BC sont alors deux obliques à la même droite AC, égales et issues du même point B; elles doivent donc s*écarter également du pied de la perpendiculaire, c'est-à-dire que le point F doit coïncider avec le point G. Cela étant, les deux

triangles coïncident et sont égaux.