DEUXIÈME APPENDICE
Mesure des aires curyilignes. {Méthodes approximatives.)
Las aires terminées par des lignes courbes ne peuvent pas en général s'évaluer d^une manière précise, à l'aide de formules spécialement établies. On a recours pour les calculer à des méthodes approximatives. Voici trois méthodes très-usitées.
1. MÉTHOBK eÉNÉBALE. 11 s^agit d'évalucr Taire comprise entre un arc de courbe A G, une base oc et deux perpendiculaires Aa, Ce, abaissées des extrémités de l'arc sur la base.
On divise ac en un nombre quelconque n de parties égales, et on élève sur ac aux points de divisions des perpendiculaires limitées à la courbe. Les perpendiculaires 1/1 , t/j..., qu'on appelle ordonnées ^ doivent être assez rapprochées pour que la courbe soit divisée en parties telles qu'on puisse très-approximativement les considérer comme des lignes droites. L'aire à évaluer est ainsi divisée en trapèzes rectangles dont chacun a un côté courbe {*), On considère ce côté comme remplacé par sa corde et on évalue en conséquence la somme des trapèzes rectangles qu'on adopte pour valeur approchée de Paire curviligne.
Désignons par d Tune des parties de ac^ par i/^, i/s> •••) V? ^^^ ^^P^ ordonnées de notre figure , et par S l'aire à évaluer.
s==d><yi±yi + dJ^'-td.y^y^-^.,..+d,y^
ou simplement S = d X [^^-—^ + Vt + 1/s + ^4+^5 +y6j
(*) Tout ce qui précède cette astérisque s'applique à toutes les méthodes (sauf le mot PAIR ajouté dans les méthodes 2 et 3 suivantes).
118 COUPliMBNT DB LA OËOMâTRIE.
La formule gMArala est évldemmeni
s = dx['ïi±^+n + «. + ... +Ï.-.+ V.-,]
fiioLE. On divite la bâte en un nombre quelconque de partie» égatm. L'aire curviligne t'obtient approximatiwmenl en aJotUant à la demé' somme des ordonnée» extrtmee la $omme de toute» le» ordonnieii intermidiaireM et multipliant le tolal par la ditlance de deux ordonnim eontieulivee.
L'airs aiDsi calculée est trop petite (approchée par défavij quand la courba a te, couCBvilé tournée ver» la base, trop grande dans le cas contraire. Lei deux ca» ■e présantent k la fois pour notre courbe ijula une InQexion en B; pat suite lea erreurs partielles de eena contrairea ee compenBenl tu moins en partie,
S. MâTBODB DE PoNciLBT. U. PoDcelet a Indiqué une méthode qui conduit plni
promplemenl à un résultai plus approché.
Explication. On partage Ea base entre les ordonnées eitrémesen un nombre pair de parliee égales, en 8 parties égales par ei., dont nous déaigneroua la longueur, conunune par d. On élève dei ordonnées à loue les points de division. On joint par des cordes : 1° les premières ordonnées y, et y^; 2° les demièrea yg et y,, et seulement de 2 en Z les ordonnées de ]/, à y^. Deux trapèiea seulement ont pour hauteur d; loaa les autres
ont pour hauteur Sd. Les aires parlietlea sont donc :
En nJDUtuDl et relTanchanl 1/2 {^i + Vs)i <") a
S, = i [Siii'- ïiia + ! (ï, + ,. + S. + ,..]
Uenons maintenant à l'extrémité de chaque ordonnée de rang pair une langBQte limitée aux deux ordonnées voisines de droite et de gauche. On obtient ainsi i trapèzes ayaLt pour hauteur commune 2d. La somme de leurs aires
S, = ïdCvi + yt + ï. + Va)-
La somme Si est plus petite que l'aire curvilignej la somme S^ est plus
grande. En composant une somme S avec la moitié da B| et la moitié de St, on
établit une compansation entre les deux erreurs commises, et on a une valeur
plus approchée de l'aire curviligne,
8 = ÎL±i ... [ïl±»! - ïliS. + ,,,. + ,, + ,. + ,.,.] 9t évidemment générale. La règle à suivre est donc eelle«l :
Cette formule
MESURE DBS AIRES CURVILIOHBS.
R£oLE. On divise ta baee en un nombre pais qwlcongue de parité» igaitt. Alt doVibit de la sO'Mine de» ùrdonnéa deTang pair, on ajottte te quart de la différence entre la tomme de» ordonniet extrême» d la somme de» deux ordonnées voUine» des eatrime$; pui» on mutliplie ta somme ain^t obtenue par la distance d de deux ordonnées consëculities.
Celle mëlhode, qui donae une approiimatiou plus grande à causa de la compensalian précilée, exige seulemeal qu'un mesure les ordonnées de rang pur et les deui ordonnées eitrémea. Elle a de plus cet avantage qu'elle fait connaître une limite de i'errevr qu'on commet en l'employant,
L M TE DE 'sEBEtift. En réunlasant i/| S| moitié trop forte et '/i S, moitié t op faible de 1 aire cucvlligne, ou commel deux erreurs qui sa diminuent muluellemen et l'erteuc e commise en prenant '/» (S, + Si) pour eiprimer l'aire eu 1 gne esl moindre que
S, - V. Si = ï [(Vi + Vi) - (Vi + ï»)]
La différence {y, +ya)~(Vi+yg] s ^^î^ ^^ Irouvéedaue le calcul de S; o trouve donc «ans peine celte limite de l'erreur.
akGg. On diïiae la
Tsoius SuiFSOH. Considérons l'aire curviligne un nombre pair suffisamment grand de parliea égales, en S parties, par exemple. Ou ~ . lilève des ordonnées à chaque point de division et on les mesure en même tomps que la basa. Désignous les ordonnées par Vi , Vi I Va— i Ht et l'une des parties de ae par d.
Pour établir la formule, considérons l'aire partielle nACc comprise entre les deux premières ordonoàrà de rang im- ' pair j(j et;(). Menons la corde BC, la parallèle &K à ac el par le poinl B Va parallèle IBH à AC. La segment CAB considéré approximativement comme un segment de paral)ole équivaut aux Vi ^'^ parallélogmmme ACHl. Par suite
Segment ABC = Vi AK X BF = '/» d X 4BF. {1} D'ailleurs trapèze akCc = '/, aeoadx (j/i + Si) , ou bien Trapèze oAGc ='/» rfxfe, + ÎÏ, + î?i+!/,) = V><'X(ffl +WF + ?») (î) (*) En additionnant les égalités (l)el (?), membre à membre, on trouve Aira curviligne aACc — Vs d (ji + 4y, + y,). (3) Da même eCEe — '/» <^iVi + *ï* + Ss) éBFr='/,d(yt + iy, + y',) /TGg = Vi rf IVi + iy» + f»)
(*) ÏAK = 2ae = 4d, el 46F = 2v, + ïy,.
iiO COMPL^BNT. DE LA OÉOMÉTIUE.
U surface totale aAOflf = Vi rf Tlf 1 + Vf -h 2 (Ti + yi -h Vt) -I- ♦ (y 1 + Vi + ye + If g) J Cette formule est générale. La règle à suivre est dune colle-ci :
Rieu. On divise la hcue en un nombre pair de pariies égales, Vaire êturviliçfne s^obtieni oppfHKsimcUivemenî en addiUonnant la somme des ordonnées extrêmes, le doMe de la somme des autres ordonnées de rang impair et le quadruple de la sommée de toutes les ordonnées de rang pair ; puis, multi" pliant le total par le tiers de la distance de deux ordonnées consécutives.
