LIVRE II

pour nous exercer à une discassion géométrique, examiner les différents cas

qui peuvent se présenter. Remarquons d'abord qu'avant d'employer le côté a opposé à l'angle donné Â^ on a déjà construit Tangle donné XAY, et pris AG=6. On peut abaisser du point G sur AY la perpendiculaire CD; supposons cette perpendiculaire abaissée. Le côté a doit partir du pointe et atteindre AY; il ne saurait être moindre que CD, qui est la plus courte ligne qui puisse aller de G à AY; donc, 1<* on doit avoir a^ CD. Si cette copiition n'est pas remplie, de quelque manière qu'on s'y prenne, on ne peut pas faire un triangle avec les données; si on opère alors comme nous l'avons fait, il arrive que l'arc de cercle décrit n'atteint pas AY. Supposons donc cette condition remplie, et a au moins égal à CD; supposons-le même en général plus grand ; alors a est une oblique allant de C à A Y, et on peut placer deux de ces obliques l'une à droite, l'autre à gauche de CD. Cela posé, il peut se présenter trois cas : V l'angle donné A est obtus; 2» il est droit; 3» il est aigu,

1* Â est obtus; dans ce cas, l'oblique é^ale à a, située à gauche de CD^ ne

convient pas; car elle est vis-à-vis de l'angle CAZ, qui n'est pas l'angle donné; l'oLlique de droite ne pourra convenir qu'autant que son pied dépassera le point A ; et, pour cela il faut que l'on ait a plus grand que l'oblique GA=6 déjà construite; alors l'arc de cercle atteint AY en un point B, tel que le triangle GAB répond à la question. Donc si A est obtus, il n'y a qu'une solution, et pour qu'elle existe, il faut que le côté donné opposé a soit plus grand que 6; ce que l'on pouvait prévoir, puisque l'angle A est le plus grand des angles du triangle.

2* L'angle A est drotY; alors CD et h se confondent; si donc le côté a est plus

grand que 6, la construction indiquée donne deux obliques égales à a, l'une à

droite, l'autre à gauche, qui produisent deux triangles rectangles GDB, CDB',

identiquement égaux; ce qui ne fait qu'une solution.

8* L'angle  est aigu. Dans ce cas, si a est égal à la perpendiculaire CD,

l'arc de cercle décrit touche en D la 11* gne ZAY, et le triangle rectangle CAD répond à la question. Si a est plus grand que CD, l'oblique de droite égale à a convient toujours, et fournit une première solution de la question. Si a est en même temps moindre que 6, ex. : CB, en prenant DB'| = DBi, ^^ ^^ joignant CB|, CB'i, on a deux triangles CAB^, CAB'|, qui rép(»ndent tous deux à la question ; car ils ont chaenn l'angle donné et les deux côtés donnés disposés comme il est

\B, ^jb;nb«

demandé. La construction indiquée fournit ces triangles, l'arc de cercle passant en Di et B'^. Si le côté a=.bt l'arc de cercle vient passer en A, et les deux obliques égales à a ne fournissent qu'un seul triangle isocèle CÂBt. Enfin, si a est plus grand que b, la deuxième oblique dépasse (^Â vers la gauche, et le second triangle CAB'g ne convient pas, puisque Tunglc CAB's n'est pas l'angle donné; mais le triangle CAB5 est une solution. Ainsi, dans le cas de A aigu, il y a toujours une solution si a est au moins égal à la perpendiculaire CD; il y en a même deux dans le seul cas où a, plus grand que CD, est en même temps plus petit que b.

Nous avons examiné tous les cas qui peuvent se présenter.

Problciuc^

Tracé des parallèles*

'' 1 20. Par un point donné C, mener une parallèle à une droite AB. Je joins le point C à un point quelconque D de AB; puis je

,^ fais avec CD, au point G, un angle

/ "^^-^..^ / angles égaux CDA, DCH ayant la

L ^""-'-' position d'angles alternes internes ^

^ ^ par rapport à la sécante CD, les

lignes AB, CH sont parallèles (59).

Pour construire l'angle DCH = DCA, on peut employer le rapporteur ou bien, faire comme il a été expliqué n** 115. Du point D comme centre on décrit un arc CE qui s'arrête à AD; du point G comme centre, avec la même ouverture de compas, on décrit Tare indéfini DI, au-dessus de AB. Puis du point D comme centre avec im rayon égal à la corde de CE, on décrit un arc qui coupe DI en H. Enfin on mène la droite CH, qui est la parallèle cherchée. Emploi de Véquerre. Les parallèles se mènent le plus souvent à

Taide de Téquerre, comme il suit :

/ ^^^ on pose l'équerre sur le papier, do

niaiiicre que son hypoténuse coïn-

, , . , cide avec la droite AB à laquelle

^^ 1 xj — u . — ^ ^ ^^ ^,^^jj mener une parallèle; puis

adaptant une règle contre le côté AE

de l'angle droit, on fait glisser Téquerre, en maintenant la règle

'à ce que son hypoténuse vienne passer par le point C