LIVRE IL

Problème.

110. Construire un triangle connaissant deux de ses côtés et t angle compris*

Soient a, 6 les côtés donnés, C l'angle donné. On construit, avec

ou sans rapporteur, un angle XCY = Tangle C donné; sur l'un des côtés CY on prend avec le compas une longueur CB = a, puis sur CX une longueur CA = ô ; on mène ensuite la droite AB; le triangle ACB ainsi obtenu répond évidemment à la question.

Ce problème est toujours possible.

Problème.

117. Construire un triangle connaissant un côté et deux de ses angles.

Soient a le côté donné, B et C les angles donnés. Il peut se présenter deux cas :

V Les angles donnés B et G sont adjacents au côté donné a ;

dans ce cas on prend sur une ligne indéfinie une longueur BC = a; au point B de BG on fait, avec ou sans rapporteur (1 1 5), un angle CBE = l'angle donné B ; puis, au point G de la môme ligne, on fait l'angle BCD = C ; les deux lignes BË, CD se rencontrent en un point A; on a ainsi un triangle ABC, qui répond évidemment à la question.

2** Si l'un des angles donnés, B par exemple, est adjacent au côté donné, et Tautre G opposé, on construit le troisième angle comme il a été expliqué n"" 115 bis; puis, avec le côté donné, l'angle B. et l'angle trouvé, on construit le triangle comme il vient d'être indiqué (1*).

Autrement, Sur une ligne indéfinie on prend une longueur BG égale au côté donné; on fait au point B un angle CBE égal à l'angle adjacent donné B ; en un point quelconque I de BE on fait un angle

BIH égal à l'angle opposé G; puis on mène par le point G, à Taide d*nne équerre, une parallèle GD à IH (faites la figure).

Remarque. La somme des angles de tout triangle étant égale à deux droits, pour que notre problème soit possible^ il faut que la somme des deux angles donnés soit moindre que deux droits. Si cette condition est remplie^ le troisième angle peut être construit, et en opérant comme précédemment, on obtiendra certainement deux lignes BË, GD^ qui se coupent.

Problème.

118. Construire un triangle dont on donne les trois côtés a, b, c. On prend sur une droite indéfinie une longueur BG = a; puis du

point B comme centre^ avec une ouverture de compas égale à c, ou décrit un arc de cercle ; du point G comme centre^ avec un rayon égal à b, ou décrit un autre arc de cercle; ces deux arcs se ^ rencontrent en un point A; on mène les droites BA^ GA. On obtient ainsi un triangle ABG qui répond évidemment à la question.

Remarque. Pour que notre problème soit possible, il faut que Tun quelconque des côtés soit moindre que la somme des deux autres, et plus grand que leur différence ; car il ne peut pas exister de triangle pour lequel ces conditions ne soient pas remplies^ Si d'ailleurs le plus grand côté a est moindre que b'\'CyOn obtient, en opérant comme nous Tavons fait^ deux arcs qui se coupent en A (103), et le triangle peut toujours être construit.

119. Construire un triangle, connaissant deux côtés et Tangle opposé à Vun d*eux.

Soient a et 6 les cAtés donnés, et l'angle A donné opposé à a. On construit on angle XAY égal à l'angle donné A; sur l'un de ses côtés AX, on prend une longueur AC é^ale au côté donné adjacent 6; puis du point G comme centre, avec un rayon égal à a, on décrit un arc de cercle qui coupe généralement le second

côté AY de Tangle. Soit B un point de rencontre: on mène la droite CB, et on a ainsi un triangle CAB qui répond à la quesUon; car il a l'angle donné et les côtés donnés^ dUposés comme on Ta demandé.

Discussion. Ce problème n*est ^s toujours possible, et quand il est posâible, U ^ a quelquefois deux soluUons. Nom allons