UVRE III
32. Dans un quadrilatère circonscrit le produit des diagonales est égal à la somme des produits des côtés opposés.
33. Si on coupe les trois côtés d'un triangle ABC par une transversale E,D,F quelconque, le produit de trois segments uoo adjacents est égal au produit des trois autres.
On appelle segments les dislances du sommet de chaque angle aux points d'intersection de la transversale et des côtés (S cas).
34. On joint un point O aux trois sommets d'un triangle ABC, et on prolonge les lignes OA, OB, OC à la rencontre des côtés opposés nc, AC, SA en D, E, F. Le produit de trois segments non adjacents ainsi déterminés est égal au produit des trois autres.
35. Trois points donnés sur les côtés d'un triangle ou sur leurs prolongemenU: sont tels que les produits des trois segments non adjacents qu'ils déterminent sur ces côtés est égal au produit des trois autres. Ces trois pointa sont en ligne droite, on sont tels au'en les Joignant aux trois sommets du triangle, on obtient trois droites qui concourent au même point, suivant que le nombre des points donnés est tm/>atr (4 ou 3} sur les proiongements des côtés, ou impair (\ ou 3) sur les côtés euxmêmes.
LiEox câOMÉTBiQUES. — On déterminera ou on vérifiera chaque lieu indiqué, et on complétera chaque énoncé, de manière à rendre Vindication du lieu tout à fait précise. (On dira quelle est la droite ou la circonférence annoncée.)
36. Le lieu des points, tels que le rapport des distances de chacun à deux droites données est un nombre donné, est une ligne droite.
37. Le lieu des points, tels que le rapport des distances de chacun à deux points flxes A et B est un nombre donné, est une circonférence.
38. Le lieu des points, tels que deux circonférences données sont vues de chacun tous deux angles égaux, est une circonférence
39. Un triangle ABC rectangle en A se meut dans un angle droit XOY, de manière qae les sommets B et G glissent sur OX et OY. Le sommet A glisse lui-même sur une droite fixe.
40. Le lieu des points, tels que la tomme des carrés des distances de chacun aux côtés d'un angle droit est constante, est une circonférence.
41. Le lieu des points, tels que la somme des carrés dos distances de chacun à eux points fixes est égal à un nombre donné, est une circonférence.
42. Le lieu des points, tels que la somme des carrés des tangentes menées dé ehacun à deux drconférenoes données est égale à un nombre donné, est une circonférence.
43. Le lieu des points, tels que la différence des carrés des distances de chacun deux points flxes est constante, est une ligne droite.
44. Le lieu des points, tels que la différence des carrés des tangentes menées de diacuo à deux circonférences données est coustaute, est une ligne droite.
45. Le lieu des points, tels que les tangentes menées de chacun à deux circonférences données sont égales, est une ligne droite qui s'appelle Vaxe radical des deux cercles.
46. Les axes radicaux de trois cercles quelconques sont parallèles ou concoui en t lu même point.
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COURS l>Ë GÊOMÉTAIE.
le poini dtà concours des axes radicaux de trois cerclei t'appelle centré radieai»
47. L'aie radical de deux circoorerenoes est le lieu des centres des circoofèreoeai quicoupeul à angles droits les deux circonrôrences données.
48. Toutes les circaurérences qui coupent à angles droits deux circonférenoes données ont pour axe radical commun la ligne des centres de ces deux circunfé* rences.
49. Le point de concours des hauteurs d'un triangl» esJt le centre radical des circonférences qui ont -ses côtés pour diamètres.
50. Le centre du cercle inscrit à un triangle est le centre radical des elreenférenees déciites des sommets A^ B, C comme centres tTCC les rayons p — BC, P'^AC, p^AH (p demi-périmètre)»
Problème.
T- 165. Divisef H ne ligne donnée AB en un certain nombre depwr^
des égales.
Soit à diviser la droite AB en sept parties égales. Par le point
A on mène une ligne indéfinie AX sous un angle quelconque. Sur cette ligne AX, on porte, à partir de A et consécutivement, se[)t longueurs Al... etc. égales entre elleSi ni trop petites ni trop grandes. On joint la dernière extrémité C au point B; puis on mène par le point I une parallèle IH à BC. La ligne AH est la septième par»
