AB AD

que — = — ; d'où Ton déduit (a* 135), AB X AC = AD .

AU J\\ji

RÉCIPROQUES. Si deux droites données AOB, COD (n"* IGl^ 1*) se coupent de' telle manière que les produits OÂxOB et OCx OD soient égaux, les quatre points Âyh, C, D appartiennent à la même circonférence.

En elTet^ faisons passer unecirconfèrencti par les trois points A, B^ G, et désignons un instant par D' le second point de rencontre de cette courbe avec la droite CO. En vertu du théorème précédent^ AOxOB=OCxOD's on a, par hypothèse, AO X OB = OC x OD ; donc OC x OU = OC x OD', et OD = Off. Le point D' n'est autre que le point D.

On démontre de la même manière les réciproques des proposiUons 2* et 1* (n» 162).

EXERCICES

Théorèmes à démontrer»

38. La somme des carrés de deux cordes qui se coupent en D' à angles droits daM un cercle est égale au carré du diamètre, plus le carré de la plus petite oorde qui pisse par D'.

29. Deux sécantes qui se coupent à angles droiis en N hors du cercle, produisent deux cordes dont la somme des carrés est égale au carré du diamètre, moins quatre fois le carré de la tangente menée de N à la circonféreuce.

30. Dans un triangle quelconque, le produit de deux côtés est égal au carré du diamètre du cercle circonscrit multiplié par la hauteur abaissée sur le troiiième côté.

34. Dans un triangle ABC, le produit de deux côtés AB, BC est égal au carré de la bissectrice AD de l'angle A plus le produit des segments BD et DC du troisléffle côté BC.