AD = ^AB
Problème*
1B4. Diviser une droite AB en parties proportionnelles d troi» lignes données m, n, p.
UYRE III. lOS
Je mène par le poiat A une seconde droite ÀX, sous un angle
quelconque; je porte sur AX, à partir de A, \ et à la suite les unes des autres, des longueurs \V AQ = m, CD = n, DE = p; je joins la ders^\ ^ nière extrémité E au point B; puis par cha- ^ cun des points D et C je mène une parallèle Vi à DE; les deux parallèles ainsi menées DI, \ë CH, divisent AB de la manière demandée.
AG ~ CD "" ÏÏE*
En effet, si Ton mène les parallèles CO et DF à AB, on forme des triangles semblables au triangle AHC. En égalant les rapports des côtés homologues, on a justement les égalités précédentes (CO=IH, DF = IB).
11 est aussi facile de diviser une droite en parties proportionnelles à des nombres donnés, 5, 3, 4, par exemple.
Pour cela, ayant tiré une seconde ligne AX, on prend une longueur arbitraire AM, par exemple, que Ton porte cinq fois sur AX à partir de A ; supposons qu'on arrive ainsi au point G. A partir de C, en continuant, on porte encore trois fois AM jusqu'en D; puis encore quatre fois jusqu'en E. On joint BE, puis on mène les parallèles DI, CH; AB est divisé en parties proportionnelles à AC = 5, CD = 3 et DE = 4 (AM sert d'unité).
Remarque. Cette construction revient à diviser AB en 5 + 3 + 4 ou i^ parties égales, puis à marquer les points où se terminent la 5* et la 8* division.
Problèmo.
165. Trouver une quatrième proportionnelle à trois lignes don-
nées m, n, p.
C'est-à-dire qu'il faut trouver une quatrième ligne x, telle que
tn ' 2) Von ait l'égalité de rapports — = i-.
Je trace deuxdroites indéfinies AX, AY; sur la première, je prends
à partir de A, et à la suite Tune de l'autre, les longueurs
AB=m, BG = n, puis sur AY) AD = p; je mène BD; puis par le point G je tire CE parallèle à BD; la ligne DE répond à la question.
En effets la ligne BD étant parallèle
à CE, on a (n- i37), ^ = ^, ou
— =-V; donc DE répond il la question, n DE'
On pourrait prendre les longueurs m et n, toutes deux à partir de A; par ex. : AC = m, AB =n, AE =2/9; la longueur cherchées; serait âD et non DE. Les deux dernières lignes données peuvent ôtre égales; on dit alors qu'il faut trouver une troisième proportionnelle à deux lignes données m, n. Traduisez : trouver une quatrième proportionnelle à ti*ols lignes m, n, p; la construction est la même.
Remarque. Rappelons-nous qu'on doit chercher une quatrième proportionnelle aux lignes m, n, p, quand il faut avoir une ligne
a?, telle que - := — , ou bien mXx = nX py ou bien encore
il X
X = ; car ces trois égalités sont équi valentes.
Problème.
■f / IGC Trouver une moyenne proportionnelle entre deux lignes donnée» m et n.
Il s'agit de trouver une ligne x telle que — = -, ou bien telle
que m X n = ^% ou x = \'m x n ( 1 34 bis).
On peut donner de ce problème diverses solutions fondées sor les théorèmes précédents, dans renoncé desquels il est question de moyenne proportionnelle.
PRBMiiaB SOLUTION. Sur une droite indéfinie, on prend une Ion-
LiynE m.
gueur ÂB=:m, puis BC=n; on construit, sur la ligne AC
comme diamètre, une demi-circon-
férence; on élève au point B sur AC une perpendiculaire BD terminée à la circonférence; BD est la moyenne proportionnelle ' demandée.
En effet, si Top tire^l). PC^n forme un triangle ADC, rectangle en D (n* ilÔllDans^cetnangle ADC, la perpendiculaire DB abaissée du sommet de Tangle droit sur l'hypoténuse^ est moyenne géométrique entre les segments AB = m et DC=n (n* 153^ i''^ C. Q. F. D.
Dbuxièmb solution. Sur la ligne indéfinie XY on prend, à partir du même point A^ successivement, AC = m^ AB = n; sur AC^ comme diamètre, on décrit une demi-circonférence; au point B (m élève sur AC la perpendiculaire BD, terminée à la circonférence; on tire AD; AD est la moyenne proportionnelle entre AC=m et AB = n. En effet, dans le triangle rectangle ADG, un côtédeTangle droit AD est moyen proportionnel entre l'hypoténuse entière AC, et le segment adjacent AB (153, S»).
ÎROisiàMB SOLUTION. Sur une ligne indéfinie on prend, à partir du
môme point A, successivement AB=m, puis AC = n; sur CB=AB — AC, comme corde, on décrit une circonférence; du point A on mène une tangente AD à cette circonférence; AD est la moyenne proportionnelle cherchée.
En effet, d'après un théorème précédent (n* 1 C2)
ÂD* = AB X AG = mx w.
Problème*
7 4.167. Partager une ligne donnée ABen moyenne et extrême 9^aison.
Partager une ligne AB en moyenne et extrême i aison, c'est la diviser en deux
porties AC, BC^ telles que la plus grande partie BG soit moyenne proportion'
Me entre la ligne entière AB et Vautre partie AC.
