Voûtes d’arêtes sur plan barlong (fig

Une voûte d’arètes est, géométriquement parlant, obtenue par l’intersection de deux cylindres ayant deux plans tan-

Coupeenlongr

LES OMBRES USUELLES

gents communs (1). Dans le cas de la figure 69 nous avons deux berceaux, l’un plein cintre, l’autre elliptique surbaissé, ayant même plan de naissance et même montée, ce qui leur donne un plan tangent commun réel et, en considérant la symétrie par rapport au plan commun des naissances, si les cylindres étaient complétés, on aurait un deuxième plan tangent commun au-dessous des naissances. Dans ce cas, l’inlersection des deux berceaux se compose de deux courbes planes projetées, en plan, suivant les diagonales telles que SF.

(a) Ombres de la coupe en long. — Nous retrouvons en VAi l’ombre du pont (n° 33) ; le point V répond au point Y' de la coupe en travers pour lequel la tangente au cercle de base est à 45°. En V la tangente est inclinée à 1/2.

{b) Ombres de la demi-coupe en travers. — C’est aussi l’ombre du pont, mais pour un berceau elliptique. Le point de départ W' répond au point W" pour lequel, sur la coupe en long, ‘la tangente <4 l’ellipse de base du grand berceau est. à 45°.

Nota. — En W' la tangente à l’ellipse d’ombre portée W'Ni n’est pas inclinée à 1/2.

(c) Ombres du plan. — 1° Chercher les génératrices d’ombres propres (virtuelles) des deux berceaux creux. Celle du berceau plein cintre est VK, obtenue comme l’on sait (sensiblement AV = 0,3 du rayon). Celle du berceau elliptique est W'W répondant au point W de l’ellipse pour lequel la tangente est à 45° sur la coupe en long; cela fait, on s’occupe d’abord des ombres sur le berceau circulaire ;

2° Le point V est le départ de l’ombre du pont VAi sur le berceau circulaire (ellipse connue; en V, sa tangente est inclinée à 1/2 et Ax est sur la génératrice centrale) ;

3° Le point K est le départ de l’ombre portée par l’arête KF dans le petit berceau, et comme FK est une courbe plane, on sait, d’après un théorème connu (2), que l’ombre portée est aussi une ellipse KFA; le point Fj est l’ombre du point F. La tangente y est à 43°. Ce point F est aussi dans l’axe comme le point At; mais au départ, en K, la tangente n’est pas inclinée à 1/2. On passe alors aux ombres portées sur le berceau elliptique ;

4° Le demi-cercle SBiB est l’ombre portée sur le petit berceau par la droite SBC supposée indéfinie; ce cercle n’est à conserver que de Bi en a, ;

5° La génératrice ajCi est l’ombre de la génératrice de naissance aC sur le berceau elliptique ;

6° W'Ci est une ombre du pont. En C* la tangente est à 45°, cette tangente est issue du point C ; son départ W' est sur la ligne d’ombre propre trouvée ci-dessus. La tangente à ce départ n’est pas inclinée à 1/2;

(1) Voir Stéréotomie, pour la définition et la génération des berceaux composés.

(2) Lorsque deux surfaces du second degré ont une courbe d’entrée plane la courbe de sortie est également plane.

7° L’ombre RS» est portée par l’arête SF ; c’est encore une ombre du pont sur berceau elliptique. Elle est facile à comprendre en regardant la figure.

LO. Lunette cylindrique droite (fig. 70).

Dans la lunette cylindrique, les deux berceaux sont, tous les deux, pleins cintres, et comme leurs ouvertures sont différentes, ils n’ont pas la même montée et, par conséquent, n’ont pas de plans tangents communs.

Fig. 70

Coupe en long Ii2 Coupe en travers

Ils se recoupent suivant deux courbes gauches, savoir M/S et sa symétrique, et l’on démontre facilement que ces deux courbes sont, en projection sur le plan, des branches d’une même hyperbole équilatère (1) dont les asymptotes seraient les lignes à 45° issues du point de croisement des axes.

L analogie entre cette épure et la précédente est évidente.

(I) ü après ce théorème, lorsque deux surfaces du second degré ont un plan de symétrie commun, leur intersection, quoique gauche dans l’espace, se projette sur ce plan de symétrie suivant une courbe du second degré, ellipse, hyperbole ou parabob. Géométrie descriptive, 2° partie.

OMBRES POUR LES SURFACES DE RÉVOLUTION EN CREUX

Ainsi sur le plan on retrouve en VGj et OP, l’ombre du pont circulaire. Seulement les courbes 0"Si et V'Nt qui sont les ombres portées par l’intersection gauche sur les ber¬

ceaux, ne sont plus des ellipses. Néanmoins, comme pour la figure 69, en Si et Ni les tangentes sont à 45°, ce qui suffit, en dessin, pour les tracer approximativement.

| III. — Les surfaces sont sphériques