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* es

le volume u-^w, our, qu'occupera le kilogramme complètement volatilisé, et Ton en conclut le poids spécifique (éq. 4) :

Les valeurs de cet élément composent la onzième colonne du tableau. Elles vont en croissant, tandis que celles de », qui occupent la colonne précédente, présentent une marche décroissante. Quant au volume propre du liquide w, il augmente, quoique très lentement (n** 477). La différence u va donc en diminuant. En raison de cette marche inverse des deux éléments v et Wy il vient un moment où ils arrivent à Tégalité, ce qui donne :

et par suite :

Telle est Téquation qui détermine ce que Ton a nommé le point critique de la substance considérée (*). A cet instant le corps n'est plus, à proprement parler, ni liquide ni gazeux. Toute surface de niveau a disparu ; mais le moindre refroidissement fait réapparaître le ménisque de séparation.

480 — On peut également déduire de l'équation (128) l'évaluation du travail.

On aura, en premier lieu, pour la chaleur dépensée en travail externe :

(129) Kpu = -^.

^ dt

(t) Cagniard-Latour a signalé le premier le point critique de l'eau. H en a estimé la température à 410 degrés du theionomètre usuel. Strauss [Journal de Phytique, S* série, t. n, p. 585) a trouvé de son côté 370 degrés et une tension de 195 atmosphères. L'équation r = 0 donnerait 6 = 880» ; mais un pareil écart n'a pas lieu de surprendre, attendu que cette résolution constituerait une véritable extrapolation des expériences de Regnault. Ce phénomène a été également l'objet des travaux de MM. ^Volf et Drion (V Institut, 1862). C'est Andrews qui a définitivement coordonné et développé les éléments antérieurs de la question [Mémoire sur la continuité de Vétat liquide et de l'état gazeux j 1803).

les valeurs de cette expression se trouvent dans la quatrième colonne du tableau.

En ce qui concerne en second lieu l'énergie interne, comprenant la somme de la chaleur sensible et de celle qui correspond au travail interne, on peut l'exprimer de deux manières bien distinctes, suivant que Ton n'y envisage que l'acte même de la volatilisation, ou qu'on y adjoint réchauffement du liquide, évalué à partir du zéro du thermomètre usuel.

M. Zeuner représente par p la première de ces deux quantités. Elle a évidemment pour expression l'excès de la valeur totale r de la chaleur à fournir, sur celle Apw (129) qui est employée à déve lopper le travail externe :

P = r — ApM, c'est-à-dire :

(430) p.^Au(«^~/>),

ou, sous une forme plus condensée :

p = Xut^

Les valeurs de cette fonction occupent la septième colonne du tableau. On trouvera en outre dans la huitième les valeurs de cette môme chaleur interne rapportées, non plus au poids, mais au volume, ce qui est commode pour certaines applications.

Le même auteur désigne par J l'accroissement total d'énergie intérieure, évalué à partir du zéro du thermomètre usuel. C'est alors, non plus de r, mais du total X qu'il faut déduire Apu, pour obtenir la portion J afférente à l'énergie interne :

c'est-à-dire (129) :

J = > — Apu,

Les valeurs de J forment la sixième colonne du tableau.

788 THERHODYxNÂMIQUE.

Ces quantités J et p relatives à l'énergie interne restent indépendantes de la manière dont réchauffement a été effectué, tandis que les valeurs de X et r qui renferment, en outre des précédentes, le travail externe Apw, supposent essentiellement le régime de pression qui a été défini pour ces fonctions (n** 477).

481 — On peut encore déterminer la fonction caractéristique H des vapeurs saturées (n° 460).

Nous remarquerons d'abord que dans la formule (75) :

dv - ^^ at« '

p représente, pour le cas actuel, une fonction de la seule variable/, ce qui donne en intégrant par rapport à v :

si nous désignons par 9 une fonction inconnue de la température seule.

Pour la déterminer, envisageons en particulier le cas-limite où l'importance variable de l'atmosphère gazeuse tend vers zéro, de telle sorte que le kilogramme de matière finisse par se réduire entièrement à l'état liquide, en occupant le volume w^. Si y désigne la chaleur spécifique du liquide, la formule deviendra dans ces conditions :

d'où, en retranchant membre à membre :

Reprenons maintenant Téquation du n** 457 :

rfQ = cdt 4- kt^dv.

pour en déduire dU et ds. Nous aurons, en rendant à c sa valeur :

Ces expressions sont toutes les deux des différentielles exactes, comme on en était certain à Tavance. Elles donnent par leur intégration :

U = [7 4- (» - w;o)A-^] t - kp(v — Wo],

s = yLt -^ k(v — tl/o)

Il vient donc finalement pour la fonction caractéristique cherchée (85) :

H = ytll-^j -h Xp{v-^w^).

EQUATIONS FOMDAIHENTALES

— Quantité de chaleur. — Nous consacrerons ce chapitre à Télude des variations que subit la proportion respective de vapeur et de liquide renfermés dans l'unité de poids, suivant les circonstances calorifiques ou mécaniques que traverse le corps. On peut, si Ton veut, concevoir ces deux parties comme nettement distinctes, et séparées Tune de Tautre par un plan horizontal. C'est l'image la plus simple. Mais il sera cependant plus conforme à la réalité, pour les applications aux machines, de se représenter un mélange plus ou moins intime de vapeur saturée et de particules liquides, entraînées mécaniquement dans une ébullition tumultueuse (*), ou précipitées après coup par une condensation partielle opérée dans le sein de la masse gazeuse (n"* 486).

Nous désignerons par x la portion du kilogramme considéré qui se trouve réduite en vapeur. Celle qui conserve l'étal liquide sera dès lors 1 — X. Lorsque x = l, cette dernière partie a complètement disparu, et la vapeur est dite sèche. Elle devient plus ou moins

(*] Leloutre {Becherchcs expérimentales et analytiques sur les machines à vapeur. Détermination de l'eau entraînée. Nancy, 1883. — Note sur quelques méthodes pour déterminer la quantité d'eau entraînée par la vapeur. Annales industrielles^ 1SS3. t. 11, p. 82).

IfÉLÂNGE DE LIQUIDE ET DE VAPEUR SATURÉE. 791

humide^ lorsque x diminue progressivement. Quand celte variable atteint la valeur zéro, toute la matière a repris la forme liquide.

Si Ton communique à cet ensemble une quantité de chaleur dQ, elle va, comme à l'ordinaire, se répartir en deux portions, pour subvenir au travail externe et pour faire varier l'énergie interne.

Le kilogramme liquide occupe initialement un volume w^. Nous négligerons, ainsi qu'il a été expliqué ci-dessus (n''477), les dilatalions que la température détermine sous celte forme spéciale. Si le corps devait entrer tout entier en vapeur, il lui faudrait pour cela s'emparer de l'espace u. Mais comme le poids a; s'est seul volatilisé, le volume ne subit que l'accroissement ux. Le kilogramme total occupe donc alors l'étendue w^-{-ux. La variation infiniment petite de celle fonction qui sera due à la communication de la quantité de chaleur dQ, se réduit à d(ux). Le travail externe a dès lors pour valeur pd(ux)y et la portion de chaleur affectée à sa production :

kpd(ttx).

Considérons en second lieu l'énergie interne D, en la rapportant comme origine au zéro du thermomètre usuel. Pour porter la totalité du kilogramme liquide à la température ^ on a dû fournir d'abord la quantité de chaleur |x. 11 y faudrait ensuite ajouter p (puisque c'est de l'énergie interne seule qu'il s'agit en ce moment) pour subvenir à la volatilisation complète. Mais le poids x s'étant seul gazéifié n'absorbe pour celle opération que par, ou, si l'on veut (130) : x (r — Kpu). Le total a donc pour expression :

(132) u — Uo = fi -h r j: — kpuxy

et sa variation élémentaire :

d[} = dfi -h d(rx) — kd{ptLx).

Si on la réunit à la première partie, il viendra pour l'ensemble : dQ = dfi -h d{rx) — A[d(pux) — pd(ux)].

OU, en réduisant :

(f Q = dfA + d{rx) — kuxdp.

Mais on peut transformer cette expression à l'aide de Inéquation (127) :

Auop = r— >

en écrivant :

(133) rfQ = rfji -h d(rx) — rx^^

ou enfin, puisque [x est une fonction de la seule variable i :

dQ = «iM + (^-if)d^

Telle est la formule fondamentale qui exprime la quantité de chaleur élémentaire, en fonction des deux variables t et rx.

488 — Entropie. — Il est facile de constater que cette expression n'est pas une différentielle exacte. En effet, le coefficient de d (rx) ne renferme pas t. Celui de dt ne devrait donc pas contenir rx^ tandis que c'est le contraire qui a lieu.

Mais nous connaissons à l'avance (n° 442) le facteur d'intégrabi-

lité qui, pour tous les corps, communique à cette fonction lecarac-

tère d'une différentielle exacte. C'est l'inverse -j de la température

absolue. Il vient en effet, en multipliant par ce coefficient (132):

dd t

d(rx) t

dt t^

df.

MÉLAiNGE DE LIQUIDE ET DE VAPEUR SATURÉE. 795

et le caractère en question se trouve mis en évidence^ attendu que |x ne renferme que la variable t.

On aura, en intégrant entre deux états extrêmes (t^J r^, x^) et

Il ne reste plus, pour rendre cette formule définitive, qu*à efîec-

tuer explicitement l'intégration de -J-y ce qui ne présente aucune

difficulté , puisque p. est une fonction rationnelle et entière de t. On obtient par là, si l'on exprime le résultat en fonction de la température usuelle 0 :

'*-^ = 0,00000045(6; — ej) — 0,0002057(6, — ej

0,45868859 Log (^-±-^]

avec un logarithme ordinaire. Nous pourrons donc, tout en conservant dans les calculs ultérieurs, pour abréger l'écriture, ce symbole d'intégrale définie, considérer comme complètement explicite la fonction (134), qui exprime l'entropie d'un mélange de liquide et de vapeur saturée.

OÉTEIVTE ADlABATigUE DES VAPEURS SATUBÉES

— La formule (134) permet d'étudier la détente adiabatique de l'association d'un liquide et de sa vapeur saturée. Si nous exprimons pour cela que cIQ = 0, l'équation (133) nous donnera :

dfi d(rx) rx ,

di "^ ~dt r ""

Or -^» ou -j^» représentent la chaleur spécifique à pression con-

ut ciO

stante C (n'' 463). Il vient dès lors en effectuant :

OU, sous une forme plus condensée :

485 — Cette formule permet de résoudre immédiatement une

question qui constitue Tune des découvertes les plus remarquables

et les plus inattendues de Clausius ('). 11 s'agit de savoir si, par sa

détente adiabatique, une vapeur tend à élre de plus en plus sèche,

en raison de la volatilisation des particules liquides dont elle se

trouvait primitivement imprégnée, ou au contraire, à devenir plus

humide, par suite d'une condensation partielle. En d'autres termes,

la valeur de x dcvra-t-elle augmenter ou diminuer par le fait de

dx cette détente. Le signe de la dérivée ^ résoudra évidemment celte

7* dx 7*

question ; ou encore celui de - -j-> puisque - reste positif dans les

conditions ordinaires d'expérience (n** 479).

Il suffira par conséquent, pour qu'il y ait précipitation partielle, que l'on ait :

dx car alors, -rj- étant positif (136), x désignera une fonction qui croît

(*} Clausius. Sur la condensation des vapeurs pendant la détente ou la compression- Comptes rendus de V Académie des sciences, t. LYi, p. 11 15. — Dupré. Sur la condensation des vapeurs pendant la détente ou la compression. Ibidem, p. 980. — Caiin. Mémoire sur la détente et la compression des vapeurs. Annales de chimie et dt physique, 4» série, t. XIV, p. 374. — Phillips. Note sur les changements d'éUt d'un mélange d'une vapeur saturée et de son liquide suivant une ligne adiabatique. CompUi rendus de l'Académie des sciences, 14 mars 1870.

avec t. La proportion x de vapeur devra donc diminuer pendant la détente adiabatique, puisque celle-ci donne lieu à un abaissement de température ; la production de travail qui accompagne l'expansion ne pouvant alors s'effectuer qu'aux dépens du corps luimême {*).

On peut d'après cela, en se maintenant pour un instant au seul point de vue algébrique, s'attendre à rencontrer tantôt un assèchement des vapeurs, tantôt une précipitation, selon la valeur du degré d'humidité initiale que l'on attribuera à or, et, bien entendu aussi, suivant la température, dont dépendent C et r. En effet, ces quantités sont, d'après les expériences de Regnault (125, 126), des polynômes dont les termes présentent, pour les différentes substances de la nature, les valeurs et les signes les plus divers.

Toutefois il importe, en sortant de ce point de vue abstrait, de décider si Tune ou l'autre de ces circonstances peut effectivement avoir lieUf dans les conditions ordinaires des expériences et pour les liquides les plus usuels.

4L86 — Nous commencerons par montrer à cet égard que c'est le phénomène de la précipitation qui se produit pour la vapeur d'eau; contrairement aux idées qui avaient cours avant Clausius (').

Supposons d'abord, pour simplifier le calcul, que la vapeur soit absolument sèche, et faisons x = i. Le second membre de l'équation (135) deviendra par là :

r dr dii

T Jt HT*

(I) Cet argument suflit. J'ajouterai d'ailleurs que M. Philjips a monti^é {Comptes rendus de C Académie des sciences, t. LXX, p. 548] que cette circonstance résulte comme conséquence des formules de Clausius (Moutier. Éléments de thermodynamique , in-12, 1872, p. 121).

(*) Ce fait, d'importance capitale, est venu renverser la théorie développée par de Pambour dans son grand ouvrage, excellent du reste pour l'époque où il a été publié {Théorie des n.achines à vapeur, 1830). Cet auteur invoquait en effet, indépendamment des lois de Mariotte et de Gay-Lussac, inadmissibles pour la vapeur saturée, celle de Watt, d'après laquelle la somme de la chaleur latente et de la chaleur libre reste constante. 11 en déduisait cette conséquence que, si l'enveloppe ne cède ni n'enlève de lu chaleur, la vapeur ne sera ni surchauffée ni condensée, mais restera toujoui*s exactement saturée.

796 THERMODYNAMIOUE.

c'est-à-dire :

r dX t dt'

dx Pour que -i- soit positif, il suffit donc que Ton ait :

ou, en développant (124, 126) :

et, toutes réductions faites :

condition qui se trouve largement réalisée pour les températures les plus élevées auxquelles il soit possible de porter pratiquement la vapeur d eau.

487 — Le mode inverse, dans lequel une vapeur vient à se surchauffer par sa détente adiabatique, au lieu de se condenser partiellement, se présente par exemple pour Téther sulfuriqoe. L'inégalité (137) devient alors en effet, d'après les valeurs des coefficients relatifs à cette substance qui se trouvent comprises dans le tableau de la page 780 :

ce qui, en effectuant, conduit à une impossibilité dans les conditions de la pratique :

Ces deux circonstances opposées ont été vérifiées expérimentalement par M. Hirn au moyen d'un cylindre muni de lunettes de

MÉLANGE DE LIQUIDE ET DE YÂPEUfl SATURÉE. 797

verre. La vitre s'est obscurcie pendant la détente de la vapeur d'eau, tandis qu'elle est restée nette avec celle de Téther {*).

— Le chloroforme présente un phénomène plus curieux encore. L'inégalité (137) devient pour ce corps, d'après les nombres renfermés dans le tableau de la page 780 :

Or, en égalant ce trinôme à zéro, on trouve pour sa racine positive :

Il y a donc, à ce point du thermomètre usuel, une température d'inversion pour laquelle le trinôme change de signe. On obtiendra une condensation au-dessous de ce nombre, et une dessaturation aux températures supérieures.

Ce fait a été vérifié expérimentalement par Cazin (*), qui a trouvé 6=123, 48; et par Athanase Dupré f), qui avait obtenu la valeur 8 = 121,00. D'aussi légères différences, dans cette matière difficile, peuvent être attribuées à un certain degré d'humidité de la vapeur; car il ne faut pas oublier que les calculs précédents sont exclusivement relatifs au cas où elle est absolument sèche (^).

489 — Des circonstances analogues se présentent d'ailleurs avec un certain degré d'humidité; à la condition qu'il ne dépasse pas une limite déterminée, qu'il est facile d'assigner pour chaque température.

(*} Hirn. Confirmation expérimentale de la seconde proposition de la théorie mécanique de la chaleur. Cosmos^ t. XH, p. 113. — Mascart. CongrèM de Nante$ de l'Association française pour Vavancement des sciences^ p. 370.

(*) Annales de chimie et de physique, 4* série, t. XIV, p. 374.

(') Théorie mécanique de la chaleur, p. 124. — Annales de chimie et de physique, 4* série, t. III, p. 87.

(^) La température d'inversion de l'eau serait, d'après Rankine et A. Dupré, égale à 520 degrés au-dessus de la glace fondante ; celle de l'éther : 116 degrés au-dessous de ce point, suivant ce dernier expérimentateur.

II a également indiqué + 118» pour la benzine, et +1^7» pour le chlorure de carbone.

dx L'équation (135) donne à cet égard, pour que -rr soit posilii, la

condition :

d'où Ton tire :

r dr t dt

Il est en effet permis de diviser les deux membres par le coefficient

dr de Xy car celui-ci est essentiellement positif, puisque la dérivée j:

ne renferme que des termes négatifs (126). On peut encore écrire:

dt X >

dr ''~^'dt

Les deux termes de cette fraction deviennent des polynômes entiei-s en 6, lorsque Ton y remplace t par 0-1-273, et que Ton effectue les différenciations de [a et de r par rapport à 6, au lieu de t, ce qui revient évidemment au même.

490 — On ti'ouve en particulier pour l'eau, à l'aide des formules (125) et 126):

Avec une vapeur plus sèche que ne l'indique cette valeur, il s'opère une condensation partielle qui tend à rapprocher de ce point l'état des choses. Pour une vapeur plus humide, au contraire, la volatilisation d'une partie du liquide rapproche également du point en question. On voit ainsi qu'il jouit d'une certaine stabilité, avec tendance à se maintenir, si on le suppose préalablement atteint.

On peut remarquer y par exemple, les valeurs suivantes :

La première de ces températures correspond à une pression absolue d'une atmosphère, la seconde à cinq environ, et la troisième à seize atmosphères. La pratique la plus étendue des machines à vapeur peut donc être considérée, en ce qui concerne les valeurs de ar, comme comprise entre les nombres extrêmes 0,50 et 0,55. Il suffît par conséquent, pour que la condensation s'opère, qu'il y ait dans le mélange plus de vapeur que de liquide, condition qui sera certainement toujours remplie.

Ce phénomène est évidemment favorable, en principe, à l'emploi dynamique de la vapeur saturée; car toute la chaleur de volatilisation [de la partie qui se condense se trouve remise en liberté dans le cylindre même, de manière à pouvoir travailler sur le piston, au lieu d'aller se perdre purement et simplement dans l'atmosphère, ou au milieu de la pluie d'eau froide du condenseur (').

[^) On ne devra pas perdre de vue, dans cette explication, que le phénomène est considéré ici en lui-même, et avec toute la rigueur de sa simplicité. Dans la pratique des moteurs industriels, l'expérience se complique de toute une série de circonstances étrangères ; et ces perturbations viennent en modiûer la portée ; ordinairement même en renverser diamétralement les termes.

Le cylindi'e renferme alors de l'eau, formée pai* la condensation de la vafieur d'admission sur la paroi qui vient d'être refroidie par l'échappement, ou par la conmiunication avec le condenseur ; tandis que nous la supposions, dans les calculs précédents, complètement impeiméable à la chaleur. Cette précipitation a, dans ce cas, pour effet de réchauffer la surface à une température intermédiaire entre celles de l'admission et du condenseur. La détente se développant, la température du milieu gazeux s'abaisse progressivement, et devient bientôt inférieure à celle du métal, qui détermine alors une volatilisation d'une partie de cette eau. Au lieu de précipitation dans la ^ètente, il y aura donc vaporisation. En outre, il est possible que la condensation conforme à la loi de Clausius continue à s'opérer dans le sein de la masse, loin de l'influence des parois, tandis qu'une volatilisation se produira le long de ces dernières. On voit par là que le phénomène réel devient, dans les conditions industrielles, excessivement

491 — II est facile d'assigner la valeur effective de la quantité de vapeur qui se condense entre deux températures extrêmes ^et<,f). En effet Téquation d'adiabaticité (134) :

(138) ip.-j:çL + r'± = Q,

peut se mettre sous la forme :

et donne pour le poids condensé x^ — a:, (') :

49Î8 — Nous pouvons apprécier d'après cela l'influence qu'exerce l'humidité de la vapeur sur le degré de détente.

La formule (138) montre en effet que x, est une fonction linéaire de x^ :

si l'on pose pour abréger :

complexe, sans toutefois que ces résultaU d'observation doivent infirmer en rien, bien entendu, la valeur théorique et le très grand intérêt que présentent les calculs précédents, relatifs à l'hypothèse d'une adiabaticité parfaite.

Cette question a été discutée avec beaucoup de développements par Couche {Yoif, matériel roulant et exploitation technique des cheminé de fer, t. UI, p. 718, 743, 755, 757, 760). On peut consulter également sur ce st^'et les ouvrages suivants : Combes et Thomas. Comptes rendus de V Académie des sciences^ 1845. — Charpentier. Sur le rendement maximum que peut atteindre un moteur à vapeur. Ibidem, 19 mars 1885. — Daniel Rinnear Clark. On the behavious of steam in the cylinders of locomotives during expansion. Institution of civil Engineers, t. LXXH, p. 1910.

('] Cette eau, en s'accumulant dans un cylindre, nécessite l'emploi des purgeurs. Vais d'ailleurs nous venons de voir que ces organes ont à évacuer une bien plus grande quantité de liquide, due à la condensation partielle de la vapeur au contact des parois froides, en raison du défaut d'adiabaticité.

(*) On trouve dans la Nouvelle mécanique industrielle de M. Pochet, p. 382 i 390, one table détaillée du degré de condensation dû à la détente adlabatique dans des conditions graduées.

Or le volume du kilogramme moteur, qui est originairement w, augmenterait de u par une volatilisation complète. Il s'accroit donc en réalité de t/x, puisque le poids x est seul converti en vapeur. Il atteint par suite, comme valeurs extrêmes, initiale et fmale, les deux termes de la fraction suivante :

qui exprime dès lors le rapport de détente géométrique. On peut, en substituant la valeur de x^, le mettre sous la forme :

(w -h pw,) H- att,r,

Pour juger si cetle expression est, ou non, croissante avec rr, nous sommes autorisés à lui substituer, en vue de cet examen, celle que Ton obtiendrait en supprimant dans le numérateur w devant u^x^. En effet Texpansion v^ est énorme vis-à-vis de w, et le coefficient x^ n'est jamais inférieur à 0,5 (*). Or la fraction ainsi obtenue peut s'écrire :

al/.

w -f- pw.

et il est clair qu'elle est croissante ou décroissante en même temps que x^.

Le rapport de détente varie donc en sens inverse de l'humidité 1 — a:,. 11 s'afiaiblit, si l'on vient à employer une vapeur plus humide. Pour continuer à dépenser le même poids pendant la course du piston, l'admission à pleine pression w-\-u^x^ placée au numérateur doit donc diminuer vis-à-vis du dénominateur, qui reste toujours égal au volume de la cylindrée capable d'utiliser 1 kilogramme du fluide moteur. 11 faut, en un mot, couper plus tôt la vapeur.

(*) n s'abaisse souvent à 0,9 et on l'a vu parfois, d.ins les locomotives, atteindre la valeur 0,6.

Si l'on veut, d'un autre côté, continuer à fournir le même volume de vapeur dans le même temps, il sera nécessaire d'accélërer l 'allure de la machine en raison inverse de la valeur de l'admission, ou, si l'on veut, de la fraction (139) dont celle-ci forme le numérateur, tandis que le dénominateur est constant. Si, pour simplifier par une approximation bien suffisante l'expression (139), nous négligeons w à ses deux termes, nous pourrons la mettre sous la forme :

«I i Le rapport des vitesses sera par suite :

c'est-à-dire explicitement, après avoir supprimé aux deux termes le

facteur — :

'. df.

^1 Jti <

Vm i /*'■ du

ÉCOULEMENT ADIABATIQUE BES YJlPEUMS SATIJKEE§

493 — Pour étudier l'écoulement adiabatique des vapeurs saturées (*), nous nous reporterons à la formule générale qui a été

('] Macquorn Rankine. Sur les lois de VicouUmeni de la vapeur. Traduction par VioUet et Moigno, 1870. — Carvallo. Mémoire sur les lois mathématiques de l'écoulément et de la déteute de la vapeur. Comptée rendus de V Académie deê wàeneet, t. LU, p. 683, 801.

établie ci-dessus (n"" 471)9 relativement à la vitesse Y d'un fluide quelconque :

Uj — Ui H- A-g- = Q 4- A(piVi — p,v,)-

Dans cette relation, Q désigne la quantité de chaleur qui a été communiquée au corps en mouvement. Nous l'annulerons ici pour nous limiter à l'écoulement adiabatique. Il viendra dans ces conditions:

— = p^v, — p,v, -h E (Ui — U,).

On a du reste , pour la vapeur saturée, avec les notations qui précèdent :

Vj = ti;^ H- ttjX^, v, = u;, -h w^r,,

et, d'après l'égalité (132) :

U, — Uj = f*i — f4 -I- ^i-^i — ^T^t — AttiPiaTj -h Aw^j^,. Il vient donc après réduction :

Mais d'ailleurs x^ s'élimine à l'aide de l'équation (138), ce qui donne :

494 — A cette formule exacte on peut, dans la pratique, substituer par approximation la suivante.

Tout d'abonl nous confondrons ensemble w^ et u;,, que nous remplacerons l'un et l'autre par w^, en négligeant les faibles dilatations du liquide à partir du zéro du thermomètre usuel (n® 477).

En second lieu, nous réduirons (jl à son premier terme 0 (125).

Comme conséquence, Tintégrale l * -7^ (n° 483) devient, avec un

Ju ^

logarithme népérien : CI p si C désigne la chaleur spécifique du

liquide sous pression constante.

Il vient ainsi :

^ = (/'i - P.)w, + E [(^ - g ^1 -h lip.) + C/.Liîj.

S*il s'agit en particulier de l'eau, on aura :

et en supposant , pour fixer les idées , la vapeur parfaitement sèche :

Avec l'écoulement à l'air libre, il viendra :

;;, = 10336, ^ = iOO H- 273.

Si enfin l'on convertit le logarithme népérien dans le système vulgaire, on aura :

et, en effectuant :

Y« = 0,01962 p -f- 8310 [t+r) — 2500021 j — 2300224 — 7129480 Log-^.

Il suffirait de rendre à p et r leurs valeurs (123) et (126) en fonction de t, pour obtenir l'expression complètement explicite de la vitesse d'écoulement adiabatique de la vapeur d'eau saturée et sèche au

sein de l'atmosphère. Nous nous bornerons à effectuer ici la substitution de r; car celle de p, à cause de la nature doublement exponentielle de cette fonction; ne ferait que compliquer sans aucune utilité récriture. 11 suffira de restituer par la pensée à ce symbole celte signification, pour apprécier à sa juste valeur lextrême complication analytique de l'expression de la vitesse d'écoulement en fonction de la température absolue :

— 7129480 Log -g^ -h 0,01962/i

Si, par exemple, on suppose une pression de 5 atmosphères, on aura, d'après le tableau de la page 777 :

et l'on trouve, tout calcul fait :

La vitesse atteindrait la valeur d'un kilomètre par seconde, pour une chaudière à 8 atmosphères de pression absolue se dégorgeant dans un condenseur maintenu à { d'atmosphère (').

RENDEMENT DES HOTEURS A ¥APEUR SATURÉE

495 — Formule de la thermodynamique. — Si l'on réduit par la pensée à sa plus simple expression (') le jeu d'une machine à

(') On trouvera lUie table des vitesses de la vapeui* pour des conditions très graduées, dans l'excellent ouvrage de M. Pochet (Nouvelle mécanique industrielle^ p. 404).

(*) Cette question du rendement se trouve traitée ici par avance, comme application de la thermodynamique des vapeurs saturées. La quatrième partie de ce Cours sera consacrée tout entière à l'étude systématique des machines à vapeur.

vapeur saturée pour en évaluer le rendement (*), on y peut distinguer les phases suivantes.

1** Sur un certain parcours du piston dans le cylindre, le iluide agit à pleine pression, c'est-à-dire en libre communication avec la chaudière. — 2** Après l'introduction d'une quantité déterminée de vapeur, que nous pouvons, pour plus de simplicité, supposer égale à un kilogramme, la communication se ferme, et le

(') Hallauer (Rendement des machines à vapeur. Bullelin de la Société industrielle de Mulhouse j mai et juin 1870. — Bulletin de la Société de V industrie minérale de Saint-Etienne, 2* série, t. X, p. 31. — Quatre brochures publiées diez Gauthier-Yillars en 1877, 1878, 1879, 1880). — - Maitre. flote sur le calcul du rendement d'une machine à vapeur, in-S". — Charpentier (Sur le rendement maximum à attendre d'uii moteur à vapeur. Comptes rendus de V Académie des sciences, t. XCVÏ, p. 782. — Délente adiabatiquc de la vapeur. Ibidem, janvier 1884, p. 85). — Courtin. Éléments de la thermodynamique, contenant le» formules nouvelles pour le calcul des machines à vapeur, Mons, 1882. — Lcdieu. Étude de thermodynamique expéi'imentale sur les machines à vapeur, Dunod, 1881. — Lissi^ol. Note sur Vapplication de la thermodynamique au perfectionnement des machines à vapeur, Bruxelles, 187G. — Chaverandier. Nouvelle théorie sur les machines à vapeur, in-8**, 1864. — Béer. Quelques note» sur le travail de la vapeur dans les machines à un cylindre y Liège, in-8*. — Leloutre (Recherches expérimentales et analytiques sur la machine à vapeur, in-8*, 1875. — Vérification d'une série d'essais sur une machine de Woolf, Paris, in-S**, 1885). — Camille Rolland. Conditions économiques d'établissement de la machine à vapeur. Revue universelle des mines et de la métallurgie, 2" série, t. XIV, p. 211 . — Dwelshauvers-Dery (Exposé succinct de la théorie pratique des moteurs à vapeur. Ibidem, 2* série, t. VUI, p. 372; XII, 180. — Les découvertes récentes concernant la machine à vapeur. Ibidem, 1880, 2« série, t, VIL p. 306. — Méthode nouvelle pour représenter l'échange de chaleur entre le métal et la vapeur. Bulletin de la Société indtistriclle de Mulhouse, 25 janvier 1888). — Pasquier {Étude des machines à vapeur basée sur les expériences de Hirn et de Hallauer. Bruxelles, 1880. — La machine à vapeur. Revue scientifique de la Société de Bruxelles, 1883, p. 208). — Wronski. Nouveaux systèmes de meu^ines à vapeur fondés sur la découverte des vraies lois des forces mécaniques, 1834, m-A\ — Georges Marié. Les progrès uturs de la locomotive au point de vue de l'économie du combustible. Revue générale des chemins de fer^ juillet 1881. — Henri Dyer. Théorie des machines à vapeur. Institution of Engineers and Shipbuilders in Scotland, 1885. — Arthur Rigg. A practiral treatise of the steam engine. Engineering news, 13 septembre 1870.

Une discussion intéressante s'est élevée récemment entre les auteurs suivants: Zeuner. Recherches calorimétriques sur la machine à vapeur. Revue universelle de» mines et de la métallurgie, 2* série, t. XI, p. 16. — Hirn. Réfutation du travail de M. Zeuner. Ibidem, p. 57 et 388. — Hallauer. Ibidem, p. 610. — Zeuner. Beuxièrac mémoire. Ibidem, 2* série, t. XIII. p. 1. — Hirn. Réfutation de la deuxième critique de M. Zeuner. — Hallauer. Ibidem, 2* série, t. XIV, p. 355. — Leloutre. Réponse à M. Hirn. Du degré d'exactitude des données d'observation d'un essai de machine à vapeur, PaiMs, 1884. — Schmidt. Progrès dans les recherches calorimétriques. B««* universelle des mines et de la métallurgie, 2" série, t. XII, p. 430. — Hirn. Remarques sur un principe de physique d'où part Glausius dans sa théorie des machines à vapeur. Comptes rendis de V Académie des sciences, t. GV, p. 716^

corps agit dorénavant par sa détente. — 3** A un certain moment, une ouverture se démasque, et met le cylindre en communication avec le condenseur (*). Le kilogramme moteur s'y trouve refoulé par le recul du piston, et noyé dans une quantité surabondante d'eau froide. — 4* La pompe à air extrait le tout de cette enceinte, dans laquelle règne une tension inférieure à la pression atmosphérique, et le déverse dans la bâche à eau chaude. — 5** Enfin la pompe alimentaire reprend dans ce récipient un kilogramme d'eau pour le refouler dans le générateur, afin d'entretenir ce dernier dans un état permanent en réparant ses pertes.

Analysons successivement ces diverses opérations, au point de vue du travail qui en est la conséquence.

496 — 1** Pleine pression. — La chaudière se trouve à une température absolue /,, d'où l'on déduirait par la formule (123) la pression correspondante p^. On doit introduire ici comme un second élément arbitraire la valeur x^, qui caractérise l'état de siccité ou d'humidité plus ou moins marqué de la vapeur. Le kilogramme de liquide occupe un volume w^ (*). Il devient par la volatilisation partielle w^'hu^x^. Telle est la place que le piston doit lui céder dans le cylindre, en reculant devant sa pression constante p^, égale à celle de la chaudière (*). De là un travail T^ développé par cette phase de pleine pression, qui aura pour valeur :

2* Détente. — Lorsque le piston a engendré le volume m;, -h w,a:,, capable de contenir le kilogramme moteur à la tension du généra-

(*) Ou avec ratmosphére exiérieure dans les machines sans condensation.

(*) Qui est sensiblement d'un litre. Bien que nous soyons convenus, d'une manière générale, de négliger les variations que subit cet élément avec la température, je distinguerai cependant ici, pour plus de clarté dans le raisonnement, ces divers états successifs par les notations u>|, ip^, w\ sauf à confondi*e ensemble finalement toutes ces valeurs dans le résultat.

(*) En négligeant les effets de l'étranglement, et des diverses pertes de charge, et en supposant qu'une compression parfaite a régénéré, en fin de course, dans l'espace libre de la distribution, la pression du générateui*, afin que l'on puisse fonctionner toujours à travail complet.

leur, la lumière d'admission se ferme, et le fluide commence à

agir par sa délente. On caractérise géométriquement celle-ci par le

rapport r» choisi a priori, du volume de pleine pression au volume

final w^-\-u^ ^t(*)î c® qui fournit entre les inconnues w, et x, cette première relation :

Pour en obtenir une seconde, nous devrons invoquer la loi de détente que nous supposons s'exercer dans le cylindre, et de laquelle dépendra naturellement le résultat. Nous avons vu(') qu'elle est en réalité fort compliquée et mal connue. Cependant, ainsi que nous l'avons déjà fait pour les théories similaires, nous la supposerons adiabatique. De là l'équation (138) :

ti Jt, t

Cette intégrale définie est complètement déterminée en fonction de t^ (n** 483), et nous pouvons de môme ramener à cette inconnue les quantités m, et r, au moyen des relations (128) et (126). Nous possédons ainsi deux conditions entre les inconnues /, et x,. On en déduira leur valeur ; non pas à la vérité à l'aide d'une élimination analytique régulière, qui serait impossible en raison de la nature transcendante des équations, mais en effectuant Finterpolation numérique de la table de Zeuner (p. 783). On arrivera de celte manière à connaître la température finale t^ de la détente, ainsi que le nouveau degré d'humidité 1 — x^ auquel se trouve alors amenée la vapeur.

Le travail de la détente pourra s'évaluer alors de la manière suivante. Il résulte uniquement de la variation U, — U, de Téner-

(') On peut supposer ici que ce deniier soit le volume de la cylindrée complète. S*il y avait avance à l'échappement, le point où se produira ce phénomène serait connu dans tous les cas, d'après les cléments de la distribution.

C) Voy. ci-dessus (page 799, note 1).

gie interne, puisque le fluide n'a pu emprunter ni céder de chaleur à aucun corps étranger. On a pour déterminer cette quantité (132) :

IJ, — Uç = jAj -h r^r^ — A/^,M^r„

et par suite, comme expression du travail T, de la détente :

c'est-à-dire :

T, = E (|ii — |X| -4- r^Xi — i\x^) — PiU^x^ -h p^up-j.

3** Condensation. — La pression p' du condenseur n'a qu'une relation éloignée avec les éléments précédents, car elle subit l'influence de l'air que l'eau froide lient en dissolution, lequel se dégage en raison du degré de vide qui règne dans cette enceinte. 11 convient donc de considérer p' comme un élément arbitraire (*).

Pour refouler, malgré cette pression antagoniste, le volume w^ + t<s^t pendant le retour du piston, il faut surmonter le travail

négatif :

4* Extraction. — La pompe à air doit alors extraire du condenseur le kilogramme moteur ramené presque complètement à la forme liquide, sous le volume w' correspondant aux conditions dans lesquelles se trouve cette capacité (*). Cet engin se trouve, pour cette opération, aidé par la tension p\ et il doit vaincre la pression atmosphérique p^. Le travail négatif développé par la

(*) On peut admettre en général pour sa valeur un cinquième de la pression atmosphérique.

(*J Elle extrait également l'eau d'injection, ainsi que l'air qui s'en est dégagé. Hais ces matériaux, étrangers au corps que nous suivons par la pensée dans ses transformations, donnent lieu 6 une consommation accessoire d'effet utile que nous comprendrons dans le total des réêisianccs pataivea de l'appareil, et que nous écartons en ce moment de l'évaluation de gg^ (n* 385). Leur influence s'exercera sui* la valeur du coefiicient économique dynamique ts.

pression effective p^ — p' qui reste constante, a pour expression :

T*=- {P. — Plw\

5* Alimentation. — Enfin un appareil d'alimentation doit, avec le concours de la pression atinosphériquepa, refouler le kilogramme u»' dans la chaudière où règne la force élastique p^. De là un travail négatif, dont l'expression est semblable à la précédente :

Ts = - (Pi — Pa) «•'.

Si Ton réunit maintenant en 'un total T les cinq travaux précédents, en confondant ensemble les volumes successifs du kilogramme liquide u\, ir,, w' (n® 463), on voit disparaître algébriquement tous les termes qui renferment ce facteur w. Il en est de même de p^u^x^, et il reste simplement, pour le travail par unité de poids :

(140) T = E (tx, — IX, -+- r,x, — V,) ■+- M^, (Pt — p'y

Avec toute autre consommation, le résultat serait évidemment proportionnel au poids de vapeur dépensé.

497 — Puisque nous considérons comme déterminées les conditions du condenseur, il est évident que nous tirerons du kilogramme de vapeur le parti le plus utile possible, en poussant la détente jusqu'à ce que sa tension p, s'abaisse exactement à celle/?' de cette enceinte. C'est ce que l'on appelle la détente complète. S'arrêter plus tôt serait en effet perdre gratuitement la chute de pression p, — p' qui, au moment de l'échappement, s'opérerait subitement à travail incomplet , sans s'utiliser à pousser encore le piston. Aller au delà serait obliger cet organe à se mouvoir à contre-pression , en vertu des liaisons et de la force vive acquise.

Le travail maximum T« par unité de poids a donc pour valeur théorique :

T„ = E (ixi — !i, -h rjTj — r^r,).

Pour Tévaluer dans chaque cas, on commencera par chercher f, diaprés la condition bien déterminée :

Pi = P'^

en y remplaçant p^ par sa valeur (125). On obtiendra ensuite jx, et i\ à l'aide des formules (125, 126), et ar, d'après la relation (138).

Nous pouvons môme eflectuer une fois pour toutes Télimination de ce dernier élément, et écrire explicitement, en divisant les deux membres par E :

(lil) AT, - IX, - »x, + r,x, {}-t)- ^^£ -T'

en mettant en évidence, au moyen d'un renversement de limites, le signe de l'intégrale définie, dont l'expression nous est explicitement connue (n** 485) (*).

498 — Coefficient économique. — Nous possédons, dans la formule (141), l'expression théorique du calorique industriellement utilisé par le cycle qui vient d'être défini. Il est facile d'évaluer, d'autre part, la chaleur qui a dû être artificiellement développée pour accomplir cette opération.

Il a fallu d'abord porter le kilogramme, de la température t! du condenseur à celle /^ qui règne dans le générateur. Si nous confondons, par une approximation bien permise ('), t' avec /,, puisque p'=p^, cette première quantité de chaleur aura pour valeur (JL, — {ji,. En second lieu, on a dû volatiliser le poids x^, ce qui a exigé le nombre de calories r^x^. Le total à fournir est donc :

(') On trouvera dans la Nouvelle mécanique industrielle de M. Pochet, p. 303 à 598, une table très détaillée des valeurs du travail que l'on peut retirer d'un kilogramme de vapeur dans des conditions graduées.

O II ne faut en effet voir là qu'une approximation, car t^ est lié à ;?, par la formule (133), tandis que if n'ofTre pas de relation nécessaire avec ;/, en raison de l'influence étrangère de l'air. Dans la réalité, 9' varie entre 30 et 60 degi*és. Nous admettrons ordinairement 0' = 40^ et par suite /' = 3i3».

D'après cela, le coefficient économique effectif, que nous pouvons exprimer par ee,, en reprenant les notations du n" 385, aura pour

valeur :

1^1 — »^f H- r^^i -S — ' — ts ( *

499 — Cette formule permet de mettre de suite en évidenœ rinfluence qu'exerce sur le rendement la présence de l'eau dans la vapeur.

On peut en effet la transformer de la manière suivante :

Concevons une valeur t intermédiaire entre /, et t^y et d'ailleui's inconnue, mais telle que si on l'attribue par la pensée d'une manière constante au dénominateur t qui figure sous le signe de l'intégrale définie, la valeur de cette dernière ne soit pas changée. On pourra alors écrire, en effectuant l'intégration :

, 1 Vi 4- -j- (i^i — |i,)

ce, = i —A 1 .

Puisque t</^, il devient évident que la fraction placée entre les crochets est supérieure à l'unité. Elle diminue donc quand x, augmente, et le rendement s'accroît par suite. On voit ainsi que l'humidité entraînée par la vapeur est nuisible à l'économie de la marche (*).

500 — Il est facile d'obtenir une évaluation du coefficient économique spécifique e^.

(*) En revanche, eUe peut présenter certains avantages accessoires, tels, par exemple, qu'une meilleure conservation des garnitures. Dans les locomotives, particulièrement» où le piston est animé d'un mouvement très rapide, on emploie une vapeur asseï humide.

Nous savons en effet que Ton a d'une manière générale (n** 457) :

Si donc nous divisons membre à membre avec Téquation qui fournit la valeur de es, (n® 498), il viendra :

(142) e, = ^' ' h — hJt, t

Cette formule rigoureuse peut très convenablement être remplacée, dans les applications courantes, par une approximation plus simple. On a vu en effet que, pour Teau, (jl ne diffère de 6 que par des termes d'une bien faible importance (125). Si donc nous confondons cette fonction avec 0, il viendra, en employant un logarithme népérien :

Supposons, pour fixer les idées, que la vapeur soit absolument sèche, en faisant a:, = 1 . Nous pourrons alors écrire :

Si, pour rester dans le même ordre d'approximation, nous réduisons r à la valeur X — 0, il reviendra au môme de i-emplacer t-hr par X-h273, d'où, en exprimant X en fonction de la température absolue :

Lt^ — Lt^

JL — ±

formule qui ne renferme plus que les deux températures extrêmes entre lesquelles s'effectue le fonctionnement de la vapeur.

50f — Si nous représentons sur la figure 289 le cycle parcouru

Fig. SS9.

par le kilogramme moteur, Thorizontale AD y marquera la pleine pression (*), la courbe BC la délente adiabatique ('), rhorizontale

[*) l\ est bien essentiel de ne pas confondre cette figure (qui est une représentatiou théorique du cycle fermé accompli par le kilogramme moteur depuis son départ du générateur jusqu'à son retour dans cette enceinte, eu traversant successiYetnent le cylindre, le condenseur, l'atmosphère, et Tinjecteur) avec le diagramme usuel, que fournit l'indicateur de W'att. Ce dernier ne relate au contraire que les diverses circonstances qui s'accomplissent dans le cylindre, et non au delà; et, d'un autre côté, il fournit sur le fonctionnement dans l'intérieur de cette enceinte des renseignements qui concernent, non plus le kilogramme moteur, mais des corps étrangers à la question. C'est ainsi que la courbe de compression indique le refoulement que subit, non plus le kilogramme en question, déjà parvenu dans le condenseur, et dorëuavaot séparé du cylindre par la fermeture de l'échappement, mais un poids constant de vapeur destiné à remplir l'espace libre de la distribution pour y régénérer la pression du générateur, et qui, par hypothèse, s'y trouvait déjà renfermé au moment de l'admission, afin d'éviter une chute brusque de pression et un fonctionnement à tra^U incomplet.

(*) La nature de ces courbes n'est pas théoriquement connue pour la vapeur saturée proprement dite. On a cherché à les représenter empiriquement par la forme fonctionnelle générale qui renferme déjà, comme cas particulier, l'adiabatique des gaz parfaits:

pt;"» = const.,

en disposant convenablement de l'exposant m. Divers auteurs ont indiqué à cet éigaH les valeurs suivantes :

m = 1 ,410 Schmidt, Théorie des machines à vapeur^ 1861 ;

1,140 Grashof, Société des ingénieurs allemands^ t. YIU, p. 151;

1,155 Zeuncr, Théorie mécanique de la chaleur^ p. 532:

1,111 Rankine, Manual of steam engine, p. 385;

CD le refoulement dans le condenseur. Quant aux deux dernières phases, leurs tracés représentatifs DE, EA se confondront sensiblement avec une droite verlicale; l'extraction du condenseur et le refoulement dans la chaudière s'opérant suivant une loi, mal connue à la vérité, mais à coup sûr sans variation importante de volume.

Traçons par la pensée Tadiaba tique AF qui passe au point A, et imaginons que le point figuratif la décrive alternativement dans les deux sens opposés qui sont marqués par les flèches. Le cycle proposé ABCDA pourra être considéré comme le résultat de la succession des deux opérations ABCFA et AFDEA. Le premier de ces diagrammes est un cycle de Carnot. Le second peut donc servir à caractériser la perturbation qui écarte de ce type idéal le cycle réel ABCDA.

Si Ton imagine que les horizontales AB et CD viennent à se rapprocher de plus en plus, le cycle AFDEA deviendra un infiniment petit d'ordre supérieur par rapport au second ABCD , et dès lors négligeable devant ce dernier. On voit ainsi que l'influence perturbatrice tend à s'atténuer par le rapprochement des deux horizontales, et à s'accentuer au contraire par leur écartement. C'est donc avec les plus grandes différences de température que la détérioration du cycle de Carnot sera le plus accusée dans la pratique. Cherchons d'après cela, pour mettre les choses au pis, à apprécier la valeur de e, sur un exemple numérique relatif à des pressions très notables.

— Nous imaginerons dans ce but un générateur qui pré-

M. Zeuncr emploie en outre, pour la vapeur humide, l'expression :

m = 1,035 -|-Tô»

qu'il a vérifiée pour les valeiu*s de x comprises entre 1,00 et 0,70. Le nombre indiqué par Rankine rentrerait dans cette loi, pour la valeur ^ = 0,76. Quant à celui de Schmidt, qui résulte simplement d'une identification idéale de la vapeur saturée avec les gaz parfaits, il est absolument inacceptable, et son auteur parait y avoir renoncé lui-même ullérieurement [Société des ingénieurs autrichiens, xv* année), pour adopter alors l'exposant de H. Grashof, qui difTère ti*és peu du nombre de M. Zeuner. Ce dernier auteur a discuté la question avec de grands développements. La formule qu'il a donnée montre qu'au fur et à mesure que x diminue et que l'humidité augmente, la valeur de m se rapproche de l'unité, et la loi de détente de la formule de Mariotte.

816 TIIERMODYNAMIQUK.

sente une pression de 10 atmosphères (*). On ti'ouve dans les tables, comme température correspondante :

Nous avons admis pour celle du condenseur dans les circonstances ordinaires :

Dans ces conditions on trouve, en effectuant les calculs :

La machine à vapeur saturée, à détente complète et à condenseur, constitue donc un très bon moteur, puisqu'elle fournit théoriquement 90 7o du rendement maximum que Ton puisse attendre de Tappareil idéal le plus parfait.

Un aussi grand rapprochement entre son fonctionnement et celui d'une machine abstraite de Carnot permet de lui étendre les conclusions qui ont été déjà formulées pour ce cycle spécial (n* 381). On voit par là que l'on aura tout intérêt à élever autant que possible t^, température de la chaudière, et à abaisser (, par la substitution d'un condenseur artificiel au simple échappement dans l'atmosphère. Rappelons également que ce maximum s'obtient en approchant le plus possible de la détente complète. On peut énoncer par conséquent cette formule succincte qui résume les conditions théoriques du bon fonctionnement de la vapeur dans les machines : pression élevécy assèchement de la vapeur y délente prolongée^ condensation artificielle.

508 — Poussons plus loin l'appréciation effective du rendemenl des moteurs à vapeur.

(*) Ce chilTrc, très élevé pour les inachiiics fixes, est souvent dépassé dans IcsKwmotives, sans èti*e cependant bien éloigne de la limite pratique. U constitue donc, entre les deux cas* un interinédiaii'c très ronvenablc pour le point de ^iie auqiiH nous voulons nous placer.

Si nous reprenons rexeinple précédent, il donne :

et d'après la valeur trouvée pour s, :

EÊ, = 0,9 X 0,31 = 0,28.

Quant à l'importance des pertes de chaleur occasionnées par la conductibilité, par le rayonnement, et surtout par le grand excès d'air qu'il est nécessaire d'envoyer dans le foyer, pour y adoucir la température de combustion et ménager la boite à feu, l'on restera plutôt en dessous qu'au dessus de la vérité en l'évaluant à la moitié. On aura donc au maximum :

£6je, == 0,5 X 0,28 = 0,14.

Si enfin l'on admet encore une perte d'un quart environ par le fait des résistances d'ordre dynamique, ainsi qu'on l'observe dans un gi'and nombre de machines bien construites, il restera finalement :

9 = «,gj€. = 0,75 X 0,14 = 0,10;

résultat sensiblement égal à celui que nous ont déjà présenté (n** 585) les moteurs à air chaud.

Cet énorme déficit a été pendant un certain temps exploité par l'opinion à l'encontre des machines à vapeur, que l'on présentait comme des récepteurs détestables. Il est très essentiel de ramener cette manière de voir à une appréciation plus judicieuse, en se reportant aux explications qui ont été déjà développées à cet égard pour les machines à air chaud (n° 586).

504I — Avant-projet de rétablissement d'un moteur à vapeur. — Pour asseoir sur les bases solides que nous fournit la thermodynamique l'avant-projet d'une machine à vapeur dont on a fait connaître directement la force réelle en chevaux, on procédera de lu manière suivante.

La chaudière étant supposée définie à ravancc, on connaîtra, d'après son timbre (*), la température correspondante t^, et l'on fera rhypothèsc qui paraîtra la plus probable sur la dose 1 — x^ d'humidité de la marche normale. On se donnera également le degré j

de détente que l'on se propose d'employer, et l'on en déduira, ainsi qu'il a été expliqué ci-dessus (n"* 496, 2*), la température finale ^„ et le degré d'humidilé 1 — x^en fin de course.

En appliquant la formule (440), on déterminera le travail T que Ton peut théoriquement attendre d'un kilogramme de vapeur. 11 conviendra essentiellement de le réduire d'après le coefficient de rendement (*) X, consacré par l'usage pour le type de machines que l'on a en vue de construire.

On connaît du reste, d'après le nombre de chevaux réels, dont chacun représente 75 kilogrammèlres par seconde, le travail effpctif à fournir dans cet espace de temps. On en déduira le poids de vapeur à dépenser par seconde.

Sachant en outre, d'après l'allure de régime que l'on compte adopter, quel nombre de tours, ou de coups doubles (*) du piston, la machine effectuera par seconde, on évaluera le poids de la cylindrée.

Nous possédons d'ailleurs la quantité m,, et par suite le poids spé

cifique :

de la vapeur détendue, au moment où elle occupe tout le cylindre {*). On en déduira donc le volume du cylindre lui-même.

(•) Je rappelle (ii"»9) que le timbre est la pression effective exprimée en kitoçratHm* par centimètre cairé. Le nombre d'atmosphères diffère donc peu (sans lui être pourtant égal) du timbre augmenté d'une unité.

(*) n est clair que ce facteur ne doit pas être confondu avec celui que nous avons évalue ci-dessus et désigné par i) (n» 385). On pouiTait tout au. plus assimiler ï à f^ M. Zeuner, jwur éviter l'ambiguïté qui plane trop souvent sur Tusage du mot rendement, désigne X sous le nom de coefficient de construction.

(^) Dans une machine à double effet.

(*) Moins celui du piston, et moins la portion qui cori'espond à rédiappeiiicul anticipé.

H reste encore à se fixer sur le diamètre de cet organe et la longueur de la course. Si la machine doit être, au départ (*), capable d'un effort statique déterminé, cette circonstance fournira la section , puisque Ton connaît déjà la pleine pression par unité de surface. Il s'ensuivra la valeur de la course.

Si, au contraire, on s'impose a priorU pour la vitesse moyenne (*) du piston, une limite que l'on ne veut pas voir dépasser par cet organe, on déduira la course du nombre ainsi déterminé des cylindrées, et, comme conséquence, le diamèlre, puisque le volume est déjà connu.

505 — Formule de Poncelel. — La marche de calcul que nous venons d'esquisser présente de grandes complications. A l'époque où la théorie était encore peu avancée, Poncelet a donné une relation très simple, fondée sur la loi de Mariotte, seul mode de détente que l'on admit alors pour les fluides compressibles. Un tel écart par rapport aux lois véritables qui régissent la vapeur saturée avait tout naturellement jeté plus tard sur cette équation un grand discrédit. On y est cependant revenu, et l'on s'en sert encore journellement, d'après la remarque formulée ci-dessus (n" 501, note 2), que l'équation de Mariotte représente convenablement la détente réelle de la vapeur, dans les conditions pratiques des machines, mieux que l'hypothèse adiabatique, et d'autant plus exactement que le fluide est plus humide. Établissons donc la formule de Poncelet (').

Nous désignerons par V, le volume de la portion du cylindre qui est parcourue à pleine pression. Le travail de cette période aura pour valeur p^Vj.

Si Ton coupe la vapeur après que le piston a engendré la fraction

r du volume total du cylindre, le travail de la détente effectuée

(*) Comme, par exemple, dans une machine d'extraction de mine.

(*) C'est-à-dire son parcours total dans un temps un peu prolonge, divisé par ce temps, pour faire disparaître les inégalités extrêmement accusées du mouvement sinusoïdal.

(S) Gouilly. Effet calorifique du cylindre à vapeur [Génie eiviL t. XI, p. \M).

conformément à la formule de MarioUe, a pour expression p, V, Lk (20).

La vapeur détendue occupe alors l'espace A:Yj. C'est ce volume qu'il reste à balayer dans le condenseur par la course rétrograde, en refoulant pour cela la pression constante p' de cette enceinte; d'où un travail résistant égal à — AV,p'. Nous le mettrons de pivfé-

rence sous la forme — »,V,. k — •

Le total des trois opérations fournit d'après cela, pour le travail d'une cylindrée, l'expression :

/>iVi(n-LA-A'^)

Désignons par N le timbre de la chaudière. On aura :

Supposons que la pression du condenseur soit égale à — d'atmosphère métrique (*). Nous pourrons écrire :

Représentons enfin par V le volume du cylindre (*), il viendra :

Le travail d'une course simple prendra donc la forme :

10000 (N -f-l)4^ri4-LA' J , 1»

^ * L wtlN + 1)J

(*) C'est-à-dire de la pression qiii correspond à nu kilogramme par cenliraèUre carré. Nous avons vu (n" 490, 3«, note i) qu'on peut en général admettre : m = 5,

(*) Défalcation faite, comme ci-dessus, du corps du piston et du volume qui correspond à l'échappement anticipé, que l'on ajoutera après coup h V, pour connaître les dimensions de la pièce à fondre.

Admettons que Tarbre de la machine fasse n tours par minute.

La machine étant à double effet, développe en une minute 2n fois

w le travail qui \ient d'être calcule, ou ^ fois ce même travail en

une seconde. Il faut diviser ce résultat par 75 pour le réduire en chevaux nominaux ^ et multiplier par X pour convertir ce dernier nombre en chevaux effectifs.

Il vient ainsi pour la force <t> en chevaux effectifs :

iOOOO(NH-1)|[i4-2,5Log/r-^^^^}

ou, en effectuant :

Inversement, on déduira, de la valeur 4> directement assignée, le volume V de la cylindrée, et à partir de là, ainsi qu'il a été expliqué tout à l'heure, le diamètre et la course du piston.

506 — Consommations. — La valeur de X est naturellement assez variable dans la pratique. On peut, avec les machines convenablement établies, compter sur un rendement des trois quarts environ (*).

Mais ce n'est pas ordinairement sous cette forme que l'on présente cette donnée dans la pratique des ateliers. On définit la plus ou moins grande perfection de la machine en indiquant le nombre de kilogrammes de charbon qu'elle oblige à brûler pour entretenir pendant une heure une force de cheval ; c'est-à-dire ce que l'on appelle, dans un langage condensé, un cheval-heure (').

(*) Charpentier. Sur les divers rendements théoriques que l'on doit considérer dans les machines à vapeur d'eau. Comptes rendus de V Académie des sciences, 19 mars 1884. — Gouilly. EfTet calorifique du cylindre à vapeur. Cwénie civil , 2 juillet 1847.

(*) Les ing^énieurs anglais procèdent inversement, et indiquent le nombre de pieds-livres que l'on retire d'un kilogramme de houille. C'est ce qu'ils appellent Duly et Service d'une machine à vapeur.

Une machine qui consomme 1 kilogramme est excellente. Au-dessous de ce chiffre, le résultat doit être considéré comme tout à fait remarquable. On est arrivé à 900, et même à 800 grammes de charbon. Un moteur de 2 ou de 5 kilogrammes est encore très acceptable. Au delà, il devient discutable. Lorsque, dans une bonne construction, Ton sacrifie le rendement à des avantages d'une auti^ nature , ou quand l'appareil est très défectueux , on atteint des consommations de 8 à 10 kilogrammes. Les premières machines de Savery brûlaient 15 kilogrammes (*).

On commence cependant à réagir contre celte manière de qualifier Tefficacité d'une machine; et en effet rien n'est au fond plus obscur et plus indéterminé. On voit d'abord qu'une telle donnée a pour résultat d'amalgamer d'une manière confuse, avec les qualités du moteur, celles du charbon. Parler en effet d'un kilogramme de houille, sans que l'on sache à quelle sorte elle appartient, est presque ne rien dire. Une machine marine, qui ne brûle que d'excellents combustibles, ne vaudra souvent pas mieux au fond que le moteur d'extraction établi sur le puits d'un charbonnage dont on lui affecte les produits invendables, bien que ce dernier consomme trois ou quatre fois plus que la première.

En second lieu, lors même qu'il s'agirait de combustibles absolument comparables, ce mode aurait encore l'inconvénient de confondre, avec les qualités ou les défauts du moteur, ceux de la chaudière elle-même, qui constitue un appareil absolument distinct. La machine effectue naturellement un travail proportionnel à la quantité de vapeur qu'elle consomme ; et celle-ci proviendra en proportion très variable de la combustion d'un kilogramme de charbon de qualité constante sur la grille de tel ou tel générateur, suivant le plus ou moins de perfection de ce dernier.

Pour ces divers motifs, on tend de plus en plus à substituer à la notion de la quantité de charbon qui correspond au cheval-heure, celle du poids de vapeur dépensé. Les meilleures machines consomment 6 à 7 kilogrammes ; mais on se contente encore fort bien du chiffre de 8 à 9.

(*) Prix de revient du cheval-vapeur [Bulletin du Ministère des Travaux publics, mars 1884, p. 274. — Génie civil, t. V, p. 407).