CHAPITRE III

§i ORIFICES EN HINCE PAROI

— Description de F écoulement . — Après avoir établi les généralités renfermées dans les deux chapitres précédents, nous avons maintenant à faire usage des moyens d* action qui s'y trouvent rassemblés, pour aborder l'étude effective des phénomènes spéciaux qui intéressent la pratique de l'ingénieur hydraulicien.

Nous distinguerons parmi eux, d'une part les longs parcours^ tels que ceux qui s'accomplissent dans les tuyaux de conduite (chap. V), ou les cours d'eau (chap. VI), le long desquels la puissance motrice s'use lentement en surmontant les résistances continues ; et, d'autre part, les points singuliers qui présentent, sur un court espace, quelque circonstance spéciale de l'écoulement.

Parmi ces derniers, nous envisagerons successivement les orifices (chap. ni), qui donnent librement issue à une veine liquide; et les changements brusques (chap. IV), qui deviennent l'occasion de phénomènes très complexes.

Pour Fétude des premiers, nous distinguerons encore les grands et les petits orifices, suivant que les dimensions du débouché sont ou non négligeables devant la charge d'eau qui détermine l'écoulement.

Dans chacune de ces catégories, enfin, nous examinerons successivement Yorifice en mince parois pour lequel la cloison qui se-

pare le liquide de l'extérieur n'a qu'une épaisseur inappréciable, et les orifices munis d'appendices , avec lesqueb l'écoulement subit, au contraire, l'inRuence de la forme que présente le conduit pratiqué à travers une épaisseur sensible.

39 — Nous commencerons donc par l'étude de l'écoulement permanent (') qui s'opère à travers un petit oriOce en mince paroi ; et, pour en réduire les circonstances au maximum de simplicité, nous supposerons d'abord ce débouché de forme circulaire et pratiqué dans le fond horizontal d'un vase de très grandes dimensions. On approcbe autant que possible des conditions théoriques, en amincissant la paroi sur les bords en forme de biseau, de manière que le liquide ne se trouve en contact qu'avec une épaisseur absolument négligeable (iig. iO).

Ce serait une grande erreur que de s'imaginer que la veine se

C) On relise Is permanence du mouTemeut en doDuani de 1res grandes dimensions i la aur&ce libre, ou, pour plus de prL'ctsion, en employant le vdm de MarioUe, \t siphon Hoitint, ou le flotteur de de Prony (Qg. 0). Avec cet iogéoieiu appareil, le

fig. 9. Flotteur de do Prony.

liquide est reçu dans la curelle inférieure du flotteur. Le poids de ce dernier, ainsi augmenté, eiige, d'après te principe d'Archiinèdc, un déplacement plus grand. Il s'enfonce donc, dans le bassin supérieur, d'un volume précisément égal k celui qui a disparu, et y maintient, par conséquent, la constance rigoureuse du siTeau.

ORIFICES. il

forme, dans ces circonstances, par l'abaissement direct du cylindre liquide que Ton élèverait par la pensée normalement à la paroi au-dessus de l'ouverture, et sans que les masses environnantes participent à l'écoulement. Bien au contraire, une expérience de Lajerhjelm (*) a montré que la vitesse est très sensible-

Fig. 10.

ment nulle au centre de l'orifice, comme si cette partie se trouvait maintenue en suspension par la concentration des filets périphériques, qui se butent ou se calent mutuellement en convergeant vers Taxe. On comprend d'ailleurs facilement qu'il serait impossible au cylindre superposé à l'orificç de descendre seul, sans éprouver des firottements de la part de la gaine liquide qui l'enveloppe immédiatement, si on la suppose immobile. Il tendrait donc, par une réaction égale à l'action, à l'entraîner avec lui. Celle-ci, agissant ensuite de proche en proche sur les parties avoisinantes, déterminerait également leur mise en mouvement, qui s'étendrait ainsi nécessairement à toute la masse de l'eau (').

11 est clair que les filets extrêmes qui glissent directement sur le fond plat, ne sauraient sortir brusquement sous un angle droit, ce qui exigerait pour leur trajectoire un rayon de courbure nul et, par

suite, une force centripète infinie — • Ils devront donc prendre

une forme curviligne, en se rapprochant progressivement les uns des autres d'une manière convergente, et finissant, à une certaine distance du plan de sortie, par atteindre le parallélisme, pour tra-

(*] On constate, en efTct, en disposant verticalement un tube ouvert à son extrémité, que l'on abaisse près du centre de Torifice, qu'il ne s'y opère pas de dénivellation sensible du liquide, ce qui indique l'absence de la succion que devrait produire la vitesse de cette région centrale, si elle était appréciable {Mémoires présentée à CAcadémie deê êcienceê par divers savants, t. lU, p. 401).

(*) On le constate en mettant en suspension de fines poussières, dont le mouvement met en évidence la formation des filets liquides.

verser tous ensemble normalement une section contractée. L'observation montre que celle-ci se trouve située au-dessous de l'orifice à une distance égale au rayon de ce dernier (flg. 10), et que son diamètre (*) représente la fraction 0,7874 de celui de l'ouverture ('). Le rapport des aires en sera donc le carré 0,61999876 ou simplement 0,62. On le représente ordinairement par m, et l'on écrit :

''Al M

Kff. 11.

ta = TflCty

en appelant Q la section de l'orifice et (o celle de la contraction.

A la section contractée succède, sur une faible longueur, une partie cylindrique qui présente une limpidité parfaite et l'aspect du plus beau cristal. Au delà, l'écoulement se trouble, et sa forme générale, cessant d'être rectiligne, présente des alternances de nœuds et de ventres (fig. 11). Un grossissement optique suffisant révèle alors que la constitution de la veine se trouve profondément altérée. Au lieu d'une masse continue, elle ne pré-

fj{ (') On mesui^ ce diamètre en entourant la veine d'une ceinture de liège.

Il à travers laquelle on pique radialement une série d'aiguilles fines, que

l'on approche -successivement du liquide jusqu'à ce qu'elles en écorchent la surface. On obtient ainsi la forme rigoureuse de la section contractée. (*) Les valeurs suivantes du diamètre de la contraction ont été données par divers expérimentateurs :

Bossut 0,817 i 0,812

Borda 0,804

Eytelwein 0,800

Venturi 0,798

Michelotti père 0,792

Poleny 0,790

Micheiotti t\U 0,790 à 0,783

Brunacci 0,780

(Daubuisson. Hydraulique^ p. 21. — Hichelotti. Sperimenli idraulici\ Turin, 1767. — Michelotti. Mémoire physico-mathématique concernant les résultats d'expériences tiydrauliques. Académie des êcience» de Turin, 1784-1785. — Léonard de Vinci, dans le recueil intitulé : RaccoUa d'auiori ilaliani che traltano del moto délie acque, Bologne. — Mariette. Traité du mouvement dee eaux. — Navicr. Additions à r Architecture hydraulique de Bélidor),

sente plus qu'une multitude de particules vibrantes, qui oscillent entre une forme allongée dans le sens vertical et un profil aplati suivant la direction horizontale. Ces apparences s'accusent d'une manière encore plus marquée par l'action de circonstances capables de favoriser l'état vibratoire. Savart a vu, en effet ('), sous l'influence d'un son musical intense, les nœuds et les ventres s'exagérer d'une manière sensible.

Après quelques alternatives d'épanouissement et de rétrécissement, la veine achève de se disloquer, et elle se désagrège en gouttelettes isolées. L'influence de la pesanteur contribue sans doute à la production de ce phénomène. En efiet, lorsqu'une molécule passe dans la contraction avec la vitesse v, elle s'abaisse, en un temps /, de la quantité :

h = vt -+- Y^^*"

Si un second point matériel a traversé cette section au bout d'un temps 0 après le premier passage, il se trouvera, pour l'instant considéré, c'est-à-dire après une durée/ — 6, à la distance :

L'intervalle des deux molécules :

h — W= (v — ^^-^gty,

croit donc au delà de toutes limites avec le temps t. Aussi voit-on, dans les liquides visqueux et filants, la section de la veine se réduire presque indéfiniment, par suite de cette sorte d'étirage que lui imprime la gravité. Mais, avec les milieux plus fluides, tels que Teau, une constitution aussi frêle du filet liquide est bientôt détruite par l'influence de l'état vibratoire. Toutefois la pesanteur ne sau-

(•) Savart. De la constitution des veines liquides lancées par des oriflces circulaires «1 mince paroi (Annaleê de physique et de chimie, 2- série, t. LlIIt p. 357).

rait être la seule cause à invoquer pour la rupture de la veine, car on observe également cet effet dans les jets ascendants. La résistance de Tair y contribue sans doute de son côté, et l'on voit certaines cascades très élevées se résoudre complètement en un brouillard, dont les particules ne se rejoignent que sur le sol pour y reformer un cours d'eau.

Ajoutons à celte description que, si l'orifice cesse d'être circulaire, l'écoulement présente une particularité remarquable connue sous le nom d'inversion ou renversement de la veine (*). En raison d'une inégalité dans l'énergie des filets plus ou moins écartés du centre, analogue à celle qui produit le phénomène de Lajerhjelm, la section, au lieu de rester, à diverses hauteurs, semblable à celle du débouché, se déforme progressivement. Les parties saillantes finissent par se trouver en regard des rayons minima de l'orifice, et réciproquement. Plus loin, ce renversement se continuant, ramène les maxixna d'écartement en face de ceux de l'ouverture, et ainsi de suite alternativement.

Les figures 12 à li montrent, par exemple, les effets produits par

Fig. 12, 13, U.

un orifice carré (*). Les diagrammes 15 à 19 correspondent de même à un orifice rectangulaire de 0",60 de hauteur sur O^jOS de largeur. Ils sont relevés respectivement à 0",10; 0",50; 0",70; 1™,10 de cet orifice.

(*) Bidone a fait de nombreuses expériences sur ce sujet (Expériences sur la forme et la direction des veines et courants d'eau lancés par diverses ouvertures, Turin, 1820).

(*) PoQcelet et Lesbros. Expériences hydrauliques sur les lois de técoulemetU des eaux à travers les orifices rectangulaires^ 1832.

n va sans dire que le coefficient de contraction 0,62 cesse d'être applicable en dehors de la veine circulaire, et doit, pour chaque forme d*orifice, être remplacé par une valeur correspondante que rexpérience directe peut seule faire connaître (n* 46).

loa

Fig. 15 à 19.

La description détaillée que nous venons de présenter pour le jdus 9imple des modes d'écouleïnent que Ton puisse envisager dans l'hydraulique, est destinée à donner une idée exacte du degré de complication que présente cet ordre de faits. On peut se figurer dès lors ce que devraient être les formules rigoureuses capables de receler, dans leur expression analytique, les moindres circonstances de semblables phénomènes. Cet aperçu nous dicte donc notre ligne de conduite, et l'on voit que l'ingénieur doit borner son ambition à dégager, à l'aide de méthodes simples, les résultats les plus essentiels pour ses recherches. On en peut, dans la question qui nous occupe, signaler deux principaux, à savoir : la vitesse avec laquelle le liquide traverse la section contractée, et le débit de l'écoulement. La première valeur nous sera fournie par le théorème de BemouUi, la seconde par l'équation de continuité.

40 — Vitesse. — Remontons par la pensée le cours d'un filet infinitésimal, à partir de l'élément de la section contractée qui lui

sert àe base, jusqu'à une région Mo (fig. 20), pour laquelle la vaste

étendue du bassin permette de négliger le carré de la vitesse v©* ^^ vitesses sont, en effet , d'après Téquation de continuité , de Tordre de l'inverse du carré des dimensions de la section, et leurs propres carrés seront de l'ordre des quatrièmes puissances de ces dernières. Appelons a la profondeur de ce point Mo au-dessous de la surface libre, et p son altitude au-dessus de la section

contractée, que nous prendrons pour plan de comparaison, de telle

sorte que l'on ait :

si H désigne la hauteur du niveau de l'eau au-dessus du plan de la contraction. Ajoutons toutefois que, dans un but de simplification, et bien que cette approximation ne soit en rien nécessaire, l'on confond le plus habituellement H avec la profondeur du vase, qui n'en diffère que d'une quantité égale au rayon de Torifice (n* 39).

Nous supposerons qu'une atmosphère de pression p surmonte la surface du bain, et que la veine liquide s'ouvre un passage à travers un milieu différent, de pression p\ Si l'on admet, comme nous l'avons fait ci-dessus (n"" 39), que, dans la section contractée, les particules tombent simplement sous l'action de la pesanteur (*), nous

(*) 11 en est de même pour une paroi inclinée, si les filets décnvent indiTiducUement les paraboles normales à cette paroi qui résultent de la théone du mouvement des graves. C'est ce que l'on peut admettre, mais Fig. 21. à la condition que les dimensions de la veine

restent négligeables vis-à-vis de la charge, comme nous le supposons dans cette théorie spécialement consacrée atix petits orifices. Dans le cas contraire, les paraboles du sommet sont peu tendues (ûg. 21), celles de In

pourrons appliquer la première règle relative à la détermination des pressions (n° 20). Celle-ci devant dès lors être constante dans toute rétendue de la section sera, en M, égale à la tension ambiante p\ Nous appliquerons de même, en M^, la troisième règle (n"" 22), en raison de la lenteur des mouvements de cette région. La pression étant, d'après cela, Soumise au régime hydrostatique, aura pour valeur en ce poîntp -f-cr a (éq. 1, page 8).

Si donc nous formons, pour chacun de ces deux points, l'expression du trinôme de BemouUi, elle sera, pour le point M :

rr h -^^ h zéro,

2flf CT

ei, en M^ :

» -h CTa

zéro -f- ^ h S.

Il vient donc :

V* p — »' 1g TS

et, par suite :

«=0,(H+iL^).

41 — Dans le cas spécial, le plus fréquent dans la pratique, pour lequel la pression atmosphérique se trouve la même dans les deux enceintes, l'équation se réduit et devient simplement :

(17) V = v/pr.

Elle est alors connue sous le nom de formule de Torricelli (*). Celte relation a été contrôlée expérimentalement par de nombreux

partie inférieure sont plus ouvertes. Elles se coupent géométriquement dans le voisinage de l'orifice, et ne peuvent plus, par conséquent, servir de trajectoires effectives aux filets liquides. Ceux-ci se gêneront donc mutuellement pour pouvoir cheminer cète à 4:Ate, ce qui renverse les conditions nécessaires à l'application de la règle n* 20. (') ToiTicelli, De molu gravium naturaliter accelerato, anno i643.

HTMAULIUCE.

hydranlidens (*;. Qa peot, entre antres modes de Térification, pratiquer on orifice i trarers nne paroi mouillée par-dessons, de manière à déterminer un jet ascendant. On reconnaît ainsi que le liquide qui, ea raison de sa TÎtcsse r, doit, d'après la thémie du

mouremait des graTes, remonter à la hauteur ^, c'est-à-dire H

féq. 17), s'élèTC en réalité à très peu près à ce ni¥eau; la faible diflërence qui Fen sépare s*ex|diquant facilemmt par les résistances passives, dont nous avons fait abstraction.

On a également employé un autre mode de contrôle, en pratiquant l'orifice dans une paroi verticale. On constate alors que le jet s'échappe suivant une parabole exactement conforme au tracé qu'il est facile d'obtenir a priori^ d'après la formule de TorriccUi. On doit avoir, en effet, pour le mouvement de chacun des points matériels (fig. 22) i

X = vl = lv2^H,

y = Tl^*

d'où, en éliminant le temps :

x« = AEy.

On voit, par cette équation, que la parabole a son sommet à l'orifice, et admet pour directrice le profil du niveau libre de l'eau.

4S — Dépense. — Quant au débit, nous l'obtiendrons (éq. 5), en multipliant la vitesse v (éq. 16) par la section contractée » (éq. 15^ ce qui donne, pour le cas général :

(*; XarioUe, Vichclotti, Bossut, Castel et Daubuisson, Poncelet et Lesbros, etc. ^DaubaissoD, Traité dthydrmdùpie^ 1840, pli). — Vauthier [Compiet rendus de F Académie det sciences^ t. Cil, p. 165).

'q = mû y 25 (h -h ^-^)

et, atec la formule de Torricelli (^) :

Q = ma^J^gn.

[*) Kavier a essayé de déterminer le coefficient de dépense m au moyeu d'un raisonnement qui constitue l)eaucoup plutôt un aperçu intuitif qu'une déduction rigoureuse , mais qui conduit, à laide d'hypothèses issex simples, k une valeur voisine de la vérité.

Il admet, d'une part, que tous les filets travei*sent le plan de Forifice (et non plus celui de la contraction] avec une égale vitesse qu'il confond avec v ; en second lieu, qu'ils se répartissent, entre eux, la surface û de cette ouverture proportionnellement aux angles qui les séparent les uns des autres (fig. 23), depuis le filet central rectiligne et normal à la paroi, jusqu'à ceux qui sont tangentiels à cette dernière sur les bords de Torifice. Dans ces conditions, les deux cônes de ûlets qui forment avec l'axe les angles a et a -f- </a, découpent sur le foi^d du vase une couronne circulaii*e a telle que l'on ait la proporticm:

Fig. 23.

D'autre part, la section droite de cette veine annulaire a pour valeur a cos a, c'est-àdire :

— cos a^«.

Son débit élémentaire s'obtiendra donc en multipliant par v cette section droite; et la

dépense totale, en intégrant cette expression entre les limites zéro et ^- il vient ainsi en définitive:

cos a</« = - Ot', it

ce qui donne, pour le coefficient de dépense :

valeur peu différente de celle 0,620 qui a été fournie par l'expérience directe. L'cireur relative qui les sépare est seulement :

M« BouMinesq, en critiquant, avec juste raison, les hypothèses de Navier, a démontre

50 UYDRAUUQUË

La formule (18) permet d'établir un principe très important, en ce qui concerne l'aménagement des eaux thermales. Si nous désignons, en effet, par Q le débit de la source à son point d'émergence

hors de la roche, H + - représentera la charge motrice qui, par un mécanisme intérieur inconnu dans ses détails, agit sur le liquide pour le faire sourdre au dehors. Quant au terme —, il comprend, outre la pression atmosphérique, la hauteur d'eau qu'on laisse parfois peser sur le griffon, afin de profiter de la force ascensionnelle de l'eau dans un puits, de manière à établir plus ou moins haut les appareils destinés à l'utiliser. On a donc tout intérêt, au point de vue de l'augmentation du débit, à diminuer, ou même à supprimer au besoin cette colonne liquide, et à capter directement les eaux aussi bas que possible, en perçant une galerie à un niveau inférieur, en disposant un siphon pour franchir un contre-haut f), ou en employant des machines élévatoires. Ce n'est que dans le cas de surabondance de l'eau, ou de difficultés d'exécution trop grandes, qu'il convient de se départir de ce principe, et de profiter de la

que la vitesse, dans tous les points de rintcrieur du Tase, est représentée en grandeur et direction par l'attraction qui serait due à une couche mince de matière occupant la surface de l'orifice, et qui aurait, en chaque point, une densité proportionnelle à la composante normale de la vitesse qui se pixMluit elTectivement en cet endroit. U en déduit, pour le coefficient de dépense de l'orilice circulaire, un développement en série dont le premier terme fournit comme approximation la valeur 0,6566 (Boussinesq. Essai sur la théorie des eaux courantes. Becueil des métnoires présenté* par divers savants à l'Académie des sciences^ t. XXII I. — De Saint- Venant. Des mouvements que prennent les diverses parties d'une masse liquide dans l'intérieur d'un vase d'où elle s'écoule par un oriGce. Comptes rendus de t Académie des sciences, i. XCIX, p. 904, 1004,1159. — De Saint- Venant et Flamant. Des vitesses que prennent dans Tintérieur d'un vase les divers éléments d'un liquide pendant son écoulement par un orifice inférieur. Ibidem, t. IGVII, p. 1027 et 1103).

Ou peut encore consulter, pour cette question, le mémoire de Th. D'Estocquois sur le coefficient de contraction de la veine Uquide [Mémoires de la Société d'émulation du Doubs^ 8 mars 1862), ainsi que le travail inséré par M. Colligmon dans les Annales dés Ponts et chaussées de 1885 (p. 295), lequel, bien qu'approximatif, fournit d'ingénieux aperçus sur le régime des dépressions produites par l'écoulement aux environs de l'orifice, et sa relation avec la contraction.

(') Cet artifice peut être entravé par des dégagements gazeux, provoqués par la dépression qui se produit au sommet du siphon. On y a, dans certains cas, romédiè à l'aide de moyens ingénieux (Ilaton de la Goupilliére. Cotir« d exploitation des mines, t. It{ p. 246. — Haton de la Goupillière. Bulletin de la Société d encouragement pour Findustrie tmtionale, 3* série, t. UI, p. 277).

ORIFICES. al

force ascensionnelle des eaux, au détriment de leur débit, pour relever le point d'émergence au point de vue des facilités de Taménagement , et diminuer la hauteur du fonctionnement des pompes.

ORIFICES HVIVIS D'APPENDICES

43 — Orifice parfaitement évasé. — Si Ton adapte à la paroi plane certains appendices, très courts d'ailleurs (sans quoi Ton rentrerait dans la théorie des longs parcours^ et il deviendrait néces* saire de tenir compte des effets du frottement), on influencera de diverses manières Técoulement, et le résultat le plus immédiat sera de modifler la valeur du coefficient de dépense. Cet élément essentiel peut donc, dans certaines limites, varier au gré du constructeur. Sans posséder la loi complète de ces variations, la théorie peut du moins en déterminer, avec rigueur, les deux limites.

La valeur du maximum s*obtient facilement de la manière suivante. Imaginons qu'après avoir établi un orifice AA' à travers une paroi mince ABA'B' (fig. 24), et relevé rigoureusement, jusqu'à la section contractée, le profil de la veine liquide qui s'en échappe, on attribue précisément cette forme à une gaine métallique que Ton adapte à cette ouverture. La veine, qui ^ n'en sera nullement gênée, sortira à gueulebée par filets parallèles à travers le débouché Fig. 2i.

de ce pavillon, que nous continuerons à représenter par Q. La section effective o) de la veine, animée dans toute son étendue de la vitesse Vy ne différant plus dès lors de Q, il faudra, dans la formule (15), supposer :

Tel est donc le tnaximum du coefficient de dépense, correspondant

HYDRàUUQUE.

au minimum de TefTet de contraction à partir du débouché, et au dispositif qui porte le nom à' orifice parfaitement évasé. Ajoutons que, dans l'application, cette forme idéale n'est pas rigoureusement indispensable, et que le profil théorique, pourvu qu'il conserve une parfaite continuité, peut être modifié dans une certaine mesure sans que le résultat en soit notablement altéré.

— Ajutage rentrant de Borda (*). — Si le maximum du coefficient de dépense s'obtient à l'aide de la disposition qui est de nature à gêner le moins Técoulement des filets, en épousant cxac tcmentla forme spontanée delà veine libre, le minimum correspon dra au cas où l'on arriverait à contrarier, au contraire, aussi com plètement que possible leur sortie. Or la cause de la contraction dans le cas simple de la mince paroi, consiste en ce que le métal au lieu d'accompagner les trajectoires jusqu'à leur direction finale comme avec l'orifice parfaitement évasé, s'arrête sur une direction

perpendiculaire, en laissant, à partir de là, au liquide le soin de se dévier de lui même, de manière à regagner la direction normale.

L'entrave la plus caractérisée que l'on puisse apporter à l'écoulement s'obtiendra donc à Taide de Y ajutage rentrant (fig. 25), qui guide les filets adjacents au métal, non plus jusqu'à la perpendiculaire à la direction finale de l'écoulement, mais dans le sens diamétralement opposé , en les obligeant ainsi à se retourner, par le phénomène de la contraction, non plus seulement d'un, mais de deux angles droits ('). Pour déterminer le coefficient de contraction relatif à ce cas spé-

(1) Borda. Mémoireê de V Académie des sciences. 17G0.

(*) Il reste entendu d'ailleun que la longueur de ce bout de tuyau est assez courte pour que la Teine liquide en reste complètement détachée. Si elle arrivait à en baigner les parois, le phénomène serait entièrement modifié, et rentrerait dans les conditions du chapitre V.

ut

'<jû

trtç

Fig. 25.

Ajutage rentrant de Borda.

ciaU nous appliquerons le théorème des projections des quantités de mouvement à l'ensemble du liquide qui se trouve compris entre le plan. A,B, de la contraction et une région A^Bg suffisamment reculée en amont pour que la vitesse y soit négligeable. Ce système matériel A^BoA^B^ vient, dans un temps infiniment petit dt^ en A'^F^A^fiV Dans la différence des sommes de projections de quantités de mouvement, qui constitue le premier membre de l'équation, la partie commune A'^B'^A^B^ disparaît d'elle-même, en raison.de la permanence. Il ne reste donc que les deux tranches extrêmes d'amont et d'aval, et, comme la vitesse de la première a été supposée négligeable, ce premier membre se réduit à la quantité de mouvement de la tranche A,B|A'jB'^, laquelle figurera en vraie grandeur, si nous adoptons comme axe de projection celui de l'ajutage. La masse

de cette tranche ayant pour valeur > la quantité de mouvement

sera • Nous pouvons d'ailleurs invoquer, pour le cas actuel,

l'équation deTorricelli (éq. 17), car rien n'est ici changé dans les .conditions du raisonnement qui nous a servi à l'établir. Le premier membre de l'équation deviendra ainsi :

irsMdt,

Quant au second, il comprend la somme des produits par le temps dt des projections des forces extérieures seules, à savoir la pesanteur et les pressions qui s'exercent sur toute la périphérie de la masse liquide. La gravité s'annule en projection sur un axe horizontal {*). En ce qui concerne les pressions, elles disparaissent, pour la même raison, le long des parois aa' ^^' de l'ajutage, puisque ces forces, normales au cylindre, sont projetées sur l'axe de ce dernier. Partout ailleurs, nous pouvons admettre, au contact du métal, le régime hydrostatique, en raison de la lenteur des mouvements qui s'y produisent (n"" 22) ; hypothèse qui n'eût pas été admis-

(I) Nous adoptons cette disposition, pour plus de simplicité dans le raisonnement. M. CoUtgnon a étendu la démonstration au cas d'une inclinaison quelconque de la paroi (Collignon. Court de mécanique appliquée aux eoMtruUioM, t. II, p. i05).

5i flYDR/VULIQUE.

sible dans le cas de Foriflcc en mince paroi, car alors Técoulement se précipite, au contraire, vers les bords de cette ouverturCt tandis que l'adjonction de Tajutage rentrant a pour effet de rejeter cette accélération dans le sein de la masse, vers la régional, en laissant toute la paroi verticale au contact d'un liquide presque stagnant.

Or, dans le régime hydrostatique, la pression atmosphérique exercée sur la surface libre s'ajoute linéairement (éq. 1) a celle qui résulte d'une manière immédiate du poids du liquide. On peut donc envisager distinctement ces deux parties. En ce qui concerne la première, elle se développe, d'un côté, directement sur la surface libre aÂ^^B^, en second lied sur la section contractée A^ B^ (n^ 20)» et enfin de la part de la surface métallique qui est baignée par l'eau, et qui oppose une réaction égale à l'action imprimée par cette dernière. La pression atmosphérique s'exerce donc sur toute l'étendue de la surface fermée qui comprend la masse liquide. Or nous avons vu (n** 12) que la somme des projections sur un axe des efforts supportés, en raison d'une tension constante, par une surface fermée quelconque, est identiquement nulle. Cette première influence se trouve par suite ici hors de cause, et nous pouvons continuer à raisonner comme si le phénomène se passait dans le vide.

La pression se réduit dès lors à zsh, sur toute l'étendue de la zone métallique située à la profondeur variable h. Or si l'on mène, parallèlement à l'axe de l'ajutage, un cylindre de section élémentaire quelconque (o, il traversera nécessairement deux fois la paroi, sauf dans le cas où il se trouverait compris à l'intérieur de cet ajutage. Les deux éléments <i>' et («>" ainsi découpés ayant la même projection tù sur un plan perpendiculaire à l'axe, et subissant des pressions égales tiA, fourniront, dans la somme algébrique des projections, deux termes égaux et de signes contraires (n""!!), qui se détruiront identiquement.

Il ne restera donc en définitive que l'effet des réactions de la calotte courbe a 6, qui serait découpée dans la paroi opposée à l'ajutage par le prolongement idéal de ce dernier. Pour chacune de ses zones horizontales de profondeur h et de hauteur dA, le résultat sera (n*" 11) égal à la pression que subirait sa projection sur le

plan de section droite. L'effet total est donc finalement (n** 10) le produit de la section Q de cet orifice par la pression cjH qui s'exerce en son centre de gravité.

En résumé, Ton voit que le second membre de l'équation se réduit à :

tsùMf .

Si maintenant nous posons cette égalité, en supprimant dans ses deux membres le facteur commun zAldt, elle devient :

ce qui monti^ que le coefficient de contraction, avec l'ajutage ren-

trant de Borda, est exactement égal à ç.

CSBANDS ORIFICES EIV MINCE PAROI

— Orifices quelconques, — Supposons maintenant que les

IdH

Fig. 26.

dimensions d'un orifice en mince paroi deviennent comparables à la charge. Si nous rapportons son périmùlre à deux aites roctan-

gulaires, dont l'un sera fourni par le niveau de l'eau (fig. 26), ce profil devra être défini par deux équations :

y = AH), Y = F(H).

représentant les branches de courbe qui le constituent à droite et à gauche. Il pourra arriver en particulier, comme cela se présente, par exemple, pour les courbes du second degré, que les fonctions ^ et F dérivent de la résolution algébrique d'une équation unique; mais cette circonstance reste sans intérêt, et généralement ces expressions devront être considérées comme indépendantes.

Cet ordre de questions se traite au moyen d'une hypothèse, assez plausible, à la vérité, mais dont cependant la valeur doctrinale ne saurait ressortir que de la comparaison efTectuée a posteriori entre les résultats théoriques et des observations directes. Ce postulatum consiste en ce que chaque élément infinitésimal de l'aire de l'orifice débite comme s'il était pratiqué isolément au milieu d'une paroi solide. La méthode consistera dès lors à diviser, par la pensée, cette aire en un réseau d'orifices élémentaires, en appliquant à chacun d'eux les résultats de la théorie précédente, et intégrant ensuite la formule ainsi obtenue.

Nous n'aurons pas besoin, du reste, de pousser la subdivision de la surface jusqu'au second ordre d'infiniment petits. Il suffira, pour pouvoir appliquer le principe, d'envisager des zones infinitésimales formées par des horizontales espacées de la hauteur dB. Chacune d'elles a pour largeur Y — y, et pour surface (Y — y) dH. Si donc \i désigne le coefficient de contraction relatif à cet élément, on aura pour le débit correspondant (éq. 18, p. 49) :

riQ = ^[F(H)-AH)]v^dH, d'où, en intégrant :

[F(H) — AH)]0irfH.

Ha

ORIFIGKS.

Pour obtenir cette formule, comme nous ignorons la variation théorique du coefficient (a d'un élément à l'autre, nous concevons une moyenne m telle, qu'en attribuant uniformément à (a cette valeur dans les limites de l'intégration, le résultat ne soit pas changé. Nous sommes dès lors autorisés à faire sortir ce facteur du signe d'intégration. Il est bien vrai que cette moyenne ne nous est pas connue, mais (Ane l'était pas davantage, et nous savons, dès le début de ces recherches, que la détermination du coefficient de dépense dans chaque cas, ne peut être demandée qu'à l'expérimentation directe.

Quant aux limites H^ et H^, elles correspondent aux points le plus haut et le plus bas du profil, c'est-à-dire à ceux pour lesquels se rejoignent les deux branches de la courbe. Ces quantités seront donc fournies par les racines de l'équation déterminée :