SURFACE LIBRE R'UN LIQUIDE TOURNANT

35 — Imaginons un liquide dépourvu de viscosité, qui reste en repos relatif par rapport à un vase animé d'une rotation uniforme. Les conditions d'équilibre devront, pour cela, se trouver vérifiées entre les forces réelles, la force d'inertie d'entraînement et la force centrifuge composée. Mais cette dernière disparaît ici comme l'enfermant en facteur, dans son expression générale, la vitesse relative, qui est supposée nulle dans le cas actuel. II ne restera donc en présence que les forces réelles et les forces centrifuges.

Leur équilibre s'exprimera en écrivant que, pour un mouvement virtuel quelconque, la somme de leurs travaux virtuels est nulle. Cette somme n'est autre, d'ailleurs, que la différentielle de la somme de travaux que nous venons d'évaluer pour une trajectoire absolument arbitraire. L'intégrale de cette relation d'équilibre ne différera donc pas de l'équation (14), dans laquelle on aurait supprimé, outix»

u^ le terme relatif à la viscosité, d'après l'hypothèse, celui — qui provient de l'évaluation des forces vives, étrangère à celle des travaux virtuels qui nous occupe exclusivement en ce moment. En un mot, ^Ue se réduit à :

— -\- z — -— • = const.

THÉORÈME DE BERNODLLJ.

On peut y dans cette masse liquide en repos relatif, grouper par la pensée les points pour lesquels la pression conserve la même valeur. On constituera ainsi une surface, et, si Ton vient à attribuer successivement plusieurs valeurs déterminées à la pression, on obtiendra une famille de surfaces emboîtées les unes dans les autres. On les appelle surfaces de niveau, attendu que chacune d'elles peut jouer au besoin le rôle de surface libre de ce bain, si on la débarrasse de la masse liquide qui la surmonte, en remplaçant celle-ci par une atmosphère ambiante de tension constante.

L*équation générale de cette famille de surfaces s'obtiendra donc en attribuant à p, dans la dernière formule, une valeur invariable, que Ton peut dès lors réunir au second membre. Elle se réduit, par conséquent, à cette forme très simple :

z — TT- = const.

3B — Pour reconnaître la forme des surfaces qu'elle représente, nous envisagerons à la fois deux systèmes de coordonnées rectangulaifes (fig. 7).

Le premier xyz a pour axe des z la verticak»

pour axe des x l'horizontale comprise dans le plan vertical de Taxe de rotation, et pour axe des y une perpendiculaire à ce plan.

Le second système XYZ a pour axe des Z Taxe de rotation luimême, pour axe des X Fig. 7.

la perpendiculaire à ce dernier, menée dans le plan vertical qui le projette, et pour axe

des Y la perpendiculaire à ce plan, qui ne diffère pas d'ailleurs

de Oy.

Si a désigne l'inclinaison de Taxe de rotation sur l'horizon, il viendra, en projetant sur la verticale les deux contours ooyz et XYZ ([ui joignent l'origine 0 à un point quelconque M :

3 = Z sin a — X ces a.

On aura en môme temps :

L'équation des surfaces de niveau deviendra donc :

rr- (X' -h Y") -f- X cos a — Z sin a = const. 2(/

Nous pouvons encore la mettre sous la forme:

.. ^g sin a

-h Y* = -^— — Z -h const.

Si nous changeons encore une fois de coordonnées, en relevant suî* vant la verticale le système XYZ d'une hauteur égale à ^, le nouveau système ^r^ se ti*ouvera relié au précédent par les formules de transformation :

el réquation des surfaces de niveau deviendra définitivement :

2a sin « I* -h «* = -^-; — ç -+- consL

En coupant par le plan Ç = const. ^ on obtient l'équation d'un

THÉORÈME DE BERNOULLi. 57

cercle qui a son centre sur l'axe Oç. La surface est donc de révolulion autour de celte droite. Pour yj = 0, il vient :

-, ^ g sin a .

5* = 2 ^ C -h const.

c'est-à-dire une parabole qui admet cette même ligne comme axe

de symétrie, et a pour paramètre - — ^-^ . Les surfaces de niveau

sont donc des paraboloïdes de révolutiony tous égaux entre eux^

ayant pour paramètre 2 — - — , et pour axe commun la droite que

Von obtient en relevant verticalement ^ d'une hauteur -^ , l'axe de rotation.

87— Nous nous arrêterons, en particulier» sur les deux cas qui intéressent plus directement la pratique, et pour lesquels Taxe est vertical ou horizontal.

Avec le premier de ces deux dispositifs, le relèvement de l'axe n'exerce plus aucune influence, et comme alors a = 90", le paramètre des paraboloïdes devient simplement ^.

Le second cas donne lieu, au contraire, à une modification profonde. On a, en effet, a = 0, et le paramètre du paraboloïde s'annule. Mais si, pour faire disparaître cette difficulté, nous remontons directement à l'équation de la surface, elle se réduit alors à :

J* -f- y/ 1= const.

; ayant disparu, cette formule représente des cylindres dont les génératrices sont parallèles à l'axe de rotation. Us continuent du reste à être de révolution autour d'une droite que l'on obtient en

i*elevant cet axe d'une hauteur égale à ^ (').

U existe toutefois, entre ces deux cas, une difTérence qu'il importe

(*] La simplicité de ce résultat et l'importance qu'il présente pour la théorie des récepteurs hydrauliques (a** 157) méritent qu'on l'établisse directement, sans faire dépendre

de signaler en passant. Le premier assigne à Teau une forme permanente, car le paraboloide tourne autour de son propre axe de ûgure, et ne présente d'après cela aucune cause de déformation. La seconde hypothèse, au contraire (*), ne nous fournit qu'une forme instantanée. En effet, le profil du cylindre est alors un cercle que Ton décrit du point fixe C comme centre, de manière à le faire passer par la molécule superficielle considérée. Or celle-ci s'abaisse, en raison de son mouvement de rotation qui s'effectue autour d'un point 0 distinct du précédent. Le cercle se déforme par suite à chaque instant. Il ne constitue plus une figure d'équilibre proprement dit, mais seulement un lieu géométrique de points animés d'une vitesse relative nulle, ou de déplacements relatifs infiniment petits du second ordre.

sa démonstration de celle du cas général. Ponceletaindiqué, àcet égard, la démonstration suivante.

n est d'abord évident que, pour un axe de rotation hoiizontal, la surface libre ne peut être qu'un cylindi*e ayant ses génératrices parallèles à cette direction, de telle sorte qu'il suffit d'en déterminer la section droite. Cette courbe devra être, en chacun de ses points 11 (fig. 8), normale à la résultante N des forces qui sollicitent la molécule

de masse m placée en ce point, à savoir son poids MA = m<7, auquel nous adjoignons (n* 35) la force centrifuge MB = mth'. Si, en effet, cette résultante était dirigée obliquement à la surface de l'eau, elle se décomposerait à son tour en une foiH^e normale, détruite par la réaction du liquide, et une composante tangentielle qui déterminerait le glissement de cette molécule. Nous aurons d'ailleurs, dans les triangles semblables MNB, HCO :

OC m

OM ~ MB*

c'est-à-dire :

OC mg — = — y-»

r mtrr

ou enfin :

*'*• 8. valeur indépendante du choix du point M. On voit ainsi

que toutes les noiinales de la courbe inconnue rencontrent la verticale du centre de rotation 0 en un même point G, situé au-dessus de ce

dernier à la hauteur ^* En un mot, ce profil est un cercle décrit autour du point C.

(') Ainsi, du reste, que le cas général lui-même d'un axe incliné.